সমাধান:

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে যৌগিক গড় \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
\(\bar{x} = \frac{697}{40} = 17.425\)

উত্তর: বন্ধুদের গড় বয়স ১৭.৪২৫ বছর。

সমাধান:

ধরি, কল্পিত গড় \((a) = 4\)。
যৌগিক গড় \(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
\(\bar{x} = 4 + \frac{12}{50} = 4 + 0.24 = 4.24\)

উত্তর: ওই 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা ৪.২৪ জন。

সমাধান:

প্রদত্ত, যৌগিক গড় \(= 20.6\)。
$$\frac{530 + 25a}{50} = 20.6$$
$$530 + 25a = 1030 \Rightarrow 25a = 500 \Rightarrow a = 20$$

উত্তর: নির্ণেয় a-এর মান ২০。

সমাধান:

প্রদত্ত, যৌগিক গড় \(= 15\)。
$$\frac{445 + 10p}{27 + p} = 15$$
$$445 + 10p = 405 + 15p \Rightarrow 5p = 40 \Rightarrow p = 8$$

উত্তর: নির্ণেয় p-এর মান ৮。

সমাধান:

(কল্পিত গড় পদ্ধতিতে) ধরি, কল্পিত গড় \((a) = 55\)。
\(\bar{x} = 55 + \left(\frac{-14}{50}\right) = 55 – 0.28 = 54.72\)

উত্তর: গড় আমের সংখ্যা ৫৪.৭২ টি。

সমাধান:

(ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে) ধরি, \(a = 35\) এবং শ্রেণি দৈর্ঘ্য \(h = 10\)。
\(\bar{x} = 35 + 10 \times \left( \frac{84}{100} \right) = 35 + 8.4 = 43.4\)

উত্তর: গড় বয়স ৪৩.৪ বছর。

(i) সমাধান:

\(\bar{x} = \frac{750}{30} = 25\)。
উত্তর (i): গড় ২৫。

(ii) সমাধান:

\(\bar{x} = \frac{4030}{100} = 40.3\)।
উত্তর (ii): গড় ৪০.৩。

(i) সমাধান: (ধরি, \(a = 100\))

\(\bar{x} = 100 + \frac{80}{90} = 100 + 0.888… \approx 100.89\)।
উত্তর (i): ১০০.৮৯ (প্রায়)。

(ii) সমাধান: (ধরি, \(a = 50\))

\(\bar{x} = 50 + \frac{-180}{40} = 50 – 4.5 = 45.5\)。
উত্তর (ii): ৪৫.৫。

(i) সমাধান: (ধরি, \(a = 75\), \(h = 30\))

\(\bar{x} = 75 + 30 \times \left(\frac{-3}{80}\right) = 75 – 1.125 = 73.875\)。
উত্তর (i): ৭৩.৮৭৫。

(ii) সমাধান: (ধরি, \(a = 35\), \(h = 14\))

\(\bar{x} = 35 + 14 \times \left(\frac{8}{90}\right) = 35 + 1.244… \approx 36.24\)।
উত্তর (ii): ৩৬.২৪ (প্রায়)。

সমাধান:

প্রদত্ত, যৌগিক গড় \(= 24\)।
$$\frac{1700 + 35p}{80 + p} = 24$$
$$1700 + 35p = 1920 + 24p \Rightarrow 11p = 220 \Rightarrow p = 20$$

উত্তর: নির্ণেয় p-এর মান ২০。

(এখানে প্রাপ্ত শ্রেণিগুলি বিচ্ছিন্ন। কিন্তু গড় নির্ণয়ের জন্য শ্রেণি-মধ্যক \(x_i\)-এর মান একই থাকে। তাই সরাসরি সমাধান করা যায়।)

সমাধান:

(ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে) \(\bar{x} = 42 + 5 \times \left(\frac{-11}{50}\right) = 42 – 1.1 = 40.9\)।

উত্তর: গড় বয়স ৪০.৯ বছর。

সমাধান:

(ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে) \(\bar{x} = 39.5 + 10 \times \left(\frac{-23}{60}\right) = 39.5 – 3.833… \approx 35.67\)。

উত্তর: নির্ণেয় গড় ৩৫.৬৭ (প্রায়)。

(ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ছকটিকে সাধারণ পরিসংখ্যা ছকে রূপান্তর করে পাই:)

সমাধান:

(প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে)
\(\bar{x} = \frac{1425}{45} = 31.666… \approx 31.67\)

উত্তর: গড় নম্বর ৩১.৬৭ (প্রায়)。

(এখানে কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করা হলো।)

সমাধান:

\(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = 12.5 + \left(\frac{-52}{64}\right) = 12.5 – 0.8125 = 11.6875\)

উত্তর: নির্ণেয় গড় ১১.৬৮৭৫。

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
52, 75, 92, 107, 113, 195, 210
এখানে মোট পদের সংখ্যা \((N) = 7\) (যা অযুগ্ম বা বিজোড়)।
অতএব, মধ্যমা = \(\frac{N+1}{2}\)-তম পদ = \(\frac{7+1}{2} = 4\)-র্থ পদ।
এখানে ৪র্থ পদটি হলো 107।
উত্তর: বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা ১০৭ টাকা。

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
4, 5, 6, 9, 10, 11, 18, 20
এখানে মোট পদের সংখ্যা \((N) = 8\) (যা যুগ্ম বা জোড়)।
অতএব, মধ্যমা = \(\frac{N}{2}\)-তম পদ এবং \(\left(\frac{N}{2} + 1\right)\)-তম পদের গড়।
অর্থাৎ, \(\frac{8}{2} = 4\)-র্থ পদ এবং \(5\)-ম পদের গড়।
এখানে ৪র্থ পদ = 9 এবং ৫ম পদ = 10।
মধ্যমা = \(\frac{9 + 10}{2} = \frac{19}{2} = 9.5\)
উত্তর: পশুর বয়সের মধ্যমা ৯.৫ বছর。

সমাধান:
নম্বরগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
42, 45, 45, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64
এখানে মোট পদ \((N) = 14\) (যুগ্ম বা জোড়)।
অতএব, মধ্যমা = ৭ম পদ এবং ৮ম পদের গড়।
এখানে ৭ম পদ = 54 এবং ৮ম পদ = 55।
মধ্যমা = \(\frac{54 + 55}{2} = \frac{109}{2} = 54.5\)
উত্তর: প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা ৫৪.৫。

সমাধান:
স্কোরগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11
এখানে মোট পদ \((N) = 22\) (যুগ্ম বা জোড়)।
অতএব, মধ্যমা = ১১তম পদ এবং ১২তম পদের গড়।
এখানে ১১তম পদ = 8 এবং ১২তম পদ = 8।
মধ্যমা = \(\frac{8 + 8}{2} = 8\)
উত্তর: স্কোরের মধ্যমা ৮。

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা \(N = 70\)।
অতএব, \(\frac{N}{2} = 35\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 35-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 44, যার সংশ্লিষ্ট ওজন হলো 47।

উত্তর: ওজনের মধ্যমা ৪৭ কিগ্রা.。

সমাধান:

এখানে \(N = 80\), অতএব \(\frac{N}{2} = 40\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 40-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 57, যার সংশ্লিষ্ট ব্যাসের দৈর্ঘ্য 22।

উত্তর: ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা ২২ মিমি.。

সমাধান:

এখানে \(N = 44\), অতএব \(\frac{N}{2} = 22\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 22-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 24, যার সংশ্লিষ্ট চল 13।

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ১৩。

সমাধান:

এখানে \(N = 55\), অতএব \(\frac{N}{2} = 27.5\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 27.5-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 38, যার সংশ্লিষ্ট শ্রেণি হলো 30-40।
অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো 30-40।
এখানে \(L = 30\), \(cf = 23\), \(f = 15\), \(h = 10\)।
$$Median = L + \frac{\frac{N}{2} – cf}{f} \times h$$
$$Median = 30 + \frac{27.5 – 23}{15} \times 10 = 30 + \frac{4.5}{15} \times 10 = 30 + \frac{45}{15} = 30 + 3 = 33$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩৩。

সমাধান:

এখানে \(N = 75\), অতএব \(\frac{N}{2} = 37.5\)।
\(cf\) কলামে 37.5-এর ঠিক বড়ো মান 56। অতএব মধ্যমা শ্রেণি হলো 40-50।
এখানে \(L = 40\), \(cf = 31\), \(f = 25\), \(h = 10\)।
$$Median = 40 + \frac{37.5 – 31}{25} \times 10 = 40 + \frac{6.5}{25} \times 10 = 40 + \frac{65}{25} = 40 + 2.6 = 42.6$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৪২.৬。

সমাধান:

এখানে \(N = 90\), অতএব \(\frac{N}{2} = 45\)。
মধ্যমা শ্রেণি হলো 15-20 (যেহেতু 45-এর চেয়ে ঠিক বড়ো \(cf\) হলো 63)।
এখানে \(L = 15\), \(cf = 33\), \(f = 30\), \(h = 5\)।
$$Median = 15 + \frac{45 – 33}{30} \times 5 = 15 + \frac{12}{30} \times 5 = 15 + \frac{60}{30} = 15 + 2 = 17$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ১৭。

সমাধান:

এখানে \(N = 100\), অতএব \(\frac{N}{2} = 50\)。
মধ্যমা শ্রেণি হলো 35-40।
এখানে \(L = 35\), \(cf = 44\), \(f = 30\), \(h = 5\)。
$$Median = 35 + \frac{50 – 44}{30} \times 5 = 35 + \frac{6}{30} \times 5 = 35 + 1 = 36$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩৬。

(এখানে শ্রেণি-সীমাগুলি বিচ্ছিন্ন, তাই প্রথমে এগুলিকে নিরবচ্ছিন্ন শ্রেণি-সীমানায় পরিণত করতে হবে।)

সমাধান:

এখানে \(N = 70\), অতএব \(\frac{N}{2} = 35\)。
মধ্যমা শ্রেণি হলো 29.5 – 39.5।
এখানে \(L = 29.5\), \(cf = 28\), \(f = 22\), \(h = 10\)。
$$Median = 29.5 + \frac{35 – 28}{22} \times 10 = 29.5 + \frac{7}{22} \times 10 = 29.5 + \frac{70}{22} = 29.5 + 3.18 (প্রায়) = 32.68$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩২.৬৮ (প্রায়)。

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, মোট পরিসংখ্যা = 100।
অতএব, \(75 + x + y = 100 \Rightarrow x + y = 25 \quad \text{— (i)}\)

দেওয়া আছে, মধ্যমা = 32, যা 30-40 শ্রেণির অন্তর্গত।
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণি হলো 30-40।
এখানে \(L = 30\), \(cf = 35 + x\), \(f = 30\), \(h = 10\)。
$$Median = L + \frac{\frac{N}{2} – cf}{f} \times h$$
$$32 = 30 + \frac{50 – (35 + x)}{30} \times 10$$
$$32 – 30 = \frac{15 – x}{3} \Rightarrow 2 = \frac{15 – x}{3} \Rightarrow 6 = 15 – x \Rightarrow x = 15 – 6 = 9$$
সমীকরণ (i)-এ \(x = 9\) বসিয়ে পাই:
\(9 + y = 25 \Rightarrow y = 16\)

উত্তর: \(x = 9\) এবং \(y = 16\)。

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, মোট পরিসংখ্যা = 100।
অতএব, \(76 + x + y = 100 \Rightarrow x + y = 24 \quad \text{— (i)}\)

দেওয়া আছে, মধ্যমা = 525, যা 500-600 শ্রেণির অন্তর্গত।
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণি হলো 500-600।
এখানে \(L = 500\), \(cf = 36 + x\), \(f = 20\), \(h = 100\)。
$$525 = 500 + \frac{50 – (36 + x)}{20} \times 100$$
$$525 – 500 = (14 – x) \times 5$$
$$25 = 5(14 – x) \Rightarrow \frac{25}{5} = 14 – x \Rightarrow 5 = 14 – x \Rightarrow x = 14 – 5 = 9$$
সমীকরণ (i)-এ \(x = 9\) বসিয়ে পাই:
\(9 + y = 24 \Rightarrow y = 15\)

উত্তর: \(x = 9\) এবং \(y = 15\)。