সমাধান:

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে যৌগিক গড় \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
\(\bar{x} = \frac{697}{40} = 17.425\)

উত্তর: বন্ধুদের গড় বয়স ১৭.৪২৫ বছর。

সমাধান:

ধরি, কল্পিত গড় \((a) = 4\)。
যৌগিক গড় \(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
\(\bar{x} = 4 + \frac{12}{50} = 4 + 0.24 = 4.24\)

উত্তর: ওই 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা ৪.২৪ জন。

সমাধান:

প্রদত্ত, যৌগিক গড় \(= 20.6\)。
$$\frac{530 + 25a}{50} = 20.6$$
$$530 + 25a = 1030 \Rightarrow 25a = 500 \Rightarrow a = 20$$

উত্তর: নির্ণেয় a-এর মান ২০。

সমাধান:

প্রদত্ত, যৌগিক গড় \(= 15\)。
$$\frac{445 + 10p}{27 + p} = 15$$
$$445 + 10p = 405 + 15p \Rightarrow 5p = 40 \Rightarrow p = 8$$

উত্তর: নির্ণেয় p-এর মান ৮。

সমাধান:

(কল্পিত গড় পদ্ধতিতে) ধরি, কল্পিত গড় \((a) = 55\)。
\(\bar{x} = 55 + \left(\frac{-14}{50}\right) = 55 – 0.28 = 54.72\)

উত্তর: গড় আমের সংখ্যা ৫৪.৭২ টি。

সমাধান:

(ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে) ধরি, \(a = 35\) এবং শ্রেণি দৈর্ঘ্য \(h = 10\)。
\(\bar{x} = 35 + 10 \times \left( \frac{84}{100} \right) = 35 + 8.4 = 43.4\)

উত্তর: গড় বয়স ৪৩.৪ বছর。

(i) সমাধান:

\(\bar{x} = \frac{750}{30} = 25\)。
উত্তর (i): গড় ২৫。

(ii) সমাধান:

\(\bar{x} = \frac{4030}{100} = 40.3\)।
উত্তর (ii): গড় ৪০.৩。

(i) সমাধান: (ধরি, \(a = 100\))

\(\bar{x} = 100 + \frac{80}{90} = 100 + 0.888… \approx 100.89\)।
উত্তর (i): ১০০.৮৯ (প্রায়)。

(ii) সমাধান: (ধরি, \(a = 50\))

\(\bar{x} = 50 + \frac{-180}{40} = 50 – 4.5 = 45.5\)。
উত্তর (ii): ৪৫.৫。

(i) সমাধান: (ধরি, \(a = 75\), \(h = 30\))

\(\bar{x} = 75 + 30 \times \left(\frac{-3}{80}\right) = 75 – 1.125 = 73.875\)。
উত্তর (i): ৭৩.৮৭৫。

(ii) সমাধান: (ধরি, \(a = 35\), \(h = 14\))

\(\bar{x} = 35 + 14 \times \left(\frac{8}{90}\right) = 35 + 1.244… \approx 36.24\)।
উত্তর (ii): ৩৬.২৪ (প্রায়)。

সমাধান:

প্রদত্ত, যৌগিক গড় \(= 24\)।
$$\frac{1700 + 35p}{80 + p} = 24$$
$$1700 + 35p = 1920 + 24p \Rightarrow 11p = 220 \Rightarrow p = 20$$

উত্তর: নির্ণেয় p-এর মান ২০。

(এখানে প্রাপ্ত শ্রেণিগুলি বিচ্ছিন্ন। কিন্তু গড় নির্ণয়ের জন্য শ্রেণি-মধ্যক \(x_i\)-এর মান একই থাকে। তাই সরাসরি সমাধান করা যায়।)

সমাধান:

(ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে) \(\bar{x} = 42 + 5 \times \left(\frac{-11}{50}\right) = 42 – 1.1 = 40.9\)।

উত্তর: গড় বয়স ৪০.৯ বছর。

সমাধান:

(ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে) \(\bar{x} = 39.5 + 10 \times \left(\frac{-23}{60}\right) = 39.5 – 3.833… \approx 35.67\)。

উত্তর: নির্ণেয় গড় ৩৫.৬৭ (প্রায়)。

(ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ছকটিকে সাধারণ পরিসংখ্যা ছকে রূপান্তর করে পাই:)

সমাধান:

(প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে)
\(\bar{x} = \frac{1425}{45} = 31.666… \approx 31.67\)

উত্তর: গড় নম্বর ৩১.৬৭ (প্রায়)。

(এখানে কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করা হলো।)

সমাধান:

\(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = 12.5 + \left(\frac{-52}{64}\right) = 12.5 – 0.8125 = 11.6875\)

উত্তর: নির্ণেয় গড় ১১.৬৮৭৫。

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
52, 75, 92, 107, 113, 195, 210
এখানে মোট পদের সংখ্যা \((N) = 7\) (যা অযুগ্ম বা বিজোড়)।
অতএব, মধ্যমা = \(\frac{N+1}{2}\)-তম পদ = \(\frac{7+1}{2} = 4\)-র্থ পদ।
এখানে ৪র্থ পদটি হলো 107।
উত্তর: বিক্রয়লব্ধ অর্থের মধ্যমা ১০৭ টাকা。

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
4, 5, 6, 9, 10, 11, 18, 20
এখানে মোট পদের সংখ্যা \((N) = 8\) (যা যুগ্ম বা জোড়)।
অতএব, মধ্যমা = \(\frac{N}{2}\)-তম পদ এবং \(\left(\frac{N}{2} + 1\right)\)-তম পদের গড়।
অর্থাৎ, \(\frac{8}{2} = 4\)-র্থ পদ এবং \(5\)-ম পদের গড়।
এখানে ৪র্থ পদ = 9 এবং ৫ম পদ = 10।
মধ্যমা = \(\frac{9 + 10}{2} = \frac{19}{2} = 9.5\)
উত্তর: পশুর বয়সের মধ্যমা ৯.৫ বছর。

সমাধান:
নম্বরগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
42, 45, 45, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64
এখানে মোট পদ \((N) = 14\) (যুগ্ম বা জোড়)।
অতএব, মধ্যমা = ৭ম পদ এবং ৮ম পদের গড়।
এখানে ৭ম পদ = 54 এবং ৮ম পদ = 55।
মধ্যমা = \(\frac{54 + 55}{2} = \frac{109}{2} = 54.5\)
উত্তর: প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যমা ৫৪.৫。

সমাধান:
স্কোরগুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই:
6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11
এখানে মোট পদ \((N) = 22\) (যুগ্ম বা জোড়)।
অতএব, মধ্যমা = ১১তম পদ এবং ১২তম পদের গড়।
এখানে ১১তম পদ = 8 এবং ১২তম পদ = 8।
মধ্যমা = \(\frac{8 + 8}{2} = 8\)
উত্তর: স্কোরের মধ্যমা ৮。

সমাধান:

এখানে মোট পরিসংখ্যা \(N = 70\)।
অতএব, \(\frac{N}{2} = 35\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 35-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 44, যার সংশ্লিষ্ট ওজন হলো 47।

উত্তর: ওজনের মধ্যমা ৪৭ কিগ্রা.。

সমাধান:

এখানে \(N = 80\), অতএব \(\frac{N}{2} = 40\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 40-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 57, যার সংশ্লিষ্ট ব্যাসের দৈর্ঘ্য 22।

উত্তর: ব্যাসের দৈর্ঘ্যের মধ্যমা ২২ মিমি.。

সমাধান:

এখানে \(N = 44\), অতএব \(\frac{N}{2} = 22\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 22-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 24, যার সংশ্লিষ্ট চল 13।

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ১৩。

সমাধান:

এখানে \(N = 55\), অতএব \(\frac{N}{2} = 27.5\)।
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যায় 27.5-এর ঠিক বড়ো মানটি হলো 38, যার সংশ্লিষ্ট শ্রেণি হলো 30-40।
অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো 30-40।
এখানে \(L = 30\), \(cf = 23\), \(f = 15\), \(h = 10\)।
$$Median = L + \frac{\frac{N}{2} – cf}{f} \times h$$
$$Median = 30 + \frac{27.5 – 23}{15} \times 10 = 30 + \frac{4.5}{15} \times 10 = 30 + \frac{45}{15} = 30 + 3 = 33$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩৩。

সমাধান:

এখানে \(N = 75\), অতএব \(\frac{N}{2} = 37.5\)।
\(cf\) কলামে 37.5-এর ঠিক বড়ো মান 56। অতএব মধ্যমা শ্রেণি হলো 40-50।
এখানে \(L = 40\), \(cf = 31\), \(f = 25\), \(h = 10\)।
$$Median = 40 + \frac{37.5 – 31}{25} \times 10 = 40 + \frac{6.5}{25} \times 10 = 40 + \frac{65}{25} = 40 + 2.6 = 42.6$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৪২.৬。

সমাধান:

এখানে \(N = 90\), অতএব \(\frac{N}{2} = 45\)。
মধ্যমা শ্রেণি হলো 15-20 (যেহেতু 45-এর চেয়ে ঠিক বড়ো \(cf\) হলো 63)।
এখানে \(L = 15\), \(cf = 33\), \(f = 30\), \(h = 5\)।
$$Median = 15 + \frac{45 – 33}{30} \times 5 = 15 + \frac{12}{30} \times 5 = 15 + \frac{60}{30} = 15 + 2 = 17$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ১৭。

সমাধান:

এখানে \(N = 100\), অতএব \(\frac{N}{2} = 50\)。
মধ্যমা শ্রেণি হলো 35-40।
এখানে \(L = 35\), \(cf = 44\), \(f = 30\), \(h = 5\)。
$$Median = 35 + \frac{50 – 44}{30} \times 5 = 35 + \frac{6}{30} \times 5 = 35 + 1 = 36$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩৬。

(এখানে শ্রেণি-সীমাগুলি বিচ্ছিন্ন, তাই প্রথমে এগুলিকে নিরবচ্ছিন্ন শ্রেণি-সীমানায় পরিণত করতে হবে।)

সমাধান:

এখানে \(N = 70\), অতএব \(\frac{N}{2} = 35\)。
মধ্যমা শ্রেণি হলো 29.5 – 39.5।
এখানে \(L = 29.5\), \(cf = 28\), \(f = 22\), \(h = 10\)。
$$Median = 29.5 + \frac{35 – 28}{22} \times 10 = 29.5 + \frac{7}{22} \times 10 = 29.5 + \frac{70}{22} = 29.5 + 3.18 (প্রায়) = 32.68$$

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা ৩২.৬৮ (প্রায়)。

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, মোট পরিসংখ্যা = 100।
অতএব, \(75 + x + y = 100 \Rightarrow x + y = 25 \quad \text{— (i)}\)

দেওয়া আছে, মধ্যমা = 32, যা 30-40 শ্রেণির অন্তর্গত।
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণি হলো 30-40।
এখানে \(L = 30\), \(cf = 35 + x\), \(f = 30\), \(h = 10\)。
$$Median = L + \frac{\frac{N}{2} – cf}{f} \times h$$
$$32 = 30 + \frac{50 – (35 + x)}{30} \times 10$$
$$32 – 30 = \frac{15 – x}{3} \Rightarrow 2 = \frac{15 – x}{3} \Rightarrow 6 = 15 – x \Rightarrow x = 15 – 6 = 9$$
সমীকরণ (i)-এ \(x = 9\) বসিয়ে পাই:
\(9 + y = 25 \Rightarrow y = 16\)

উত্তর: \(x = 9\) এবং \(y = 16\)。

সমাধান:

প্রশ্নানুসারে, মোট পরিসংখ্যা = 100।
অতএব, \(76 + x + y = 100 \Rightarrow x + y = 24 \quad \text{— (i)}\)

দেওয়া আছে, মধ্যমা = 525, যা 500-600 শ্রেণির অন্তর্গত।
সুতরাং মধ্যমা শ্রেণি হলো 500-600।
এখানে \(L = 500\), \(cf = 36 + x\), \(f = 20\), \(h = 100\)。
$$525 = 500 + \frac{50 – (36 + x)}{20} \times 100$$
$$525 – 500 = (14 – x) \times 5$$
$$25 = 5(14 – x) \Rightarrow \frac{25}{5} = 14 – x \Rightarrow 5 = 14 – x \Rightarrow x = 14 – 5 = 9$$
সমীকরণ (i)-এ \(x = 9\) বসিয়ে পাই:
\(9 + y = 24 \Rightarrow y = 15\)

উত্তর: \(x = 9\) এবং \(y = 15\)。

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যের ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকা নীচে দেওয়া হলো:

ওজাইভ অঙ্কন: ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর উর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা এবং y-অক্ষ বরাবর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা স্থাপন করে (50, 10), (100, 26), (150, 54), (200, 76), (250, 94), (300, 100) বিন্দুগুলি পর্যায়ক্রমে মুক্ত হস্তে যোগ করলেই উদ্দিষ্ট ওজাইভ (ক্ষুদ্রতর সূচক) পাওয়া যাবে।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যটি ইতিমধ্যেই ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা আকারে আছে। ছক কাগজে (38, 0), (40, 4), (42, 6), (44, 9), (46, 12), (48, 28), (50, 32), (52, 35) বিন্দুগুলি মুক্তহস্তে যোগ করে ওজাইভ পাওয়া যাবে।

এখানে, মোট পরিসংখ্যা \(n = 35\), সুতরাং \(\frac{n}{2} = 17.5\)। লেখচিত্রে y-অক্ষে 17.5 বিন্দু থেকে x-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা ওজাইভকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার ভুজ হলো মধ্যমা (প্রায় 46.69)।

সূত্রের সাহায্যে যাচাই: মধ্যমা শ্রেণি হলো 46-48 (যেহেতু এর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা 12 এর বেশি এবং 28 এর কম)।

এখানে \(L = 46\), \(cf = 12\), \(f = 28 – 12 = 16\), \(h = 2\)।
মধ্যমা \(= L + \frac{\frac{n}{2} – cf}{f} \times h\)
\(= 46 + \frac{17.5 – 12}{16} \times 2 = 46 + \frac{5.5}{8} = 46 + 0.6875 = 46.6875\)

উত্তর: নির্ণেয় মধ্যমা প্রায় 46.69 কিগ্রা।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যের বৃহত্তর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা তালিকা নীচে দেওয়া হলো:

ওজাইভ অঙ্কন: ছক কাগজে (0, 45), (5, 41), (10, 31), (15, 16), (20, 8), (25, 5) বিন্দুগুলি স্থাপন করে মুক্তহস্তে যোগ করলেই বৃহত্তর সূচক ওজাইভ পাওয়া যাবে।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে মোট পরিসংখ্যা \(n = 50\)। ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভের বিন্দুগুলি হলো: (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40), (200, 50)। বৃহত্তর সূচক ওজাইভের বিন্দুগুলি হলো: (100, 50), (120, 38), (140, 24), (160, 16), (180, 10)।

ছক কাগজে এই দুটি বক্ররেখা অঙ্কন করলে এরা যে বিন্দুতে ছেদ করবে, তার x-স্থানাঙ্কই হলো নির্ণেয় মধ্যমা।

সূত্রের সাহায্যে মধ্যমা (\(L = 120, cf = 12, f = 14, h = 20\)):
মধ্যমা \(= 120 + \frac{25 – 12}{14} \times 20 = 120 + \frac{13}{14} \times 20 \approx 138.57\)

উত্তর: লেখচিত্র থেকেও মধ্যমার মান প্রায় 138.57 পাওয়া যাবে।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যে 15 সংখ্যাটি 4 বার এবং 17 সংখ্যাটি 4 বার আছে, যা অন্যান্য সংখ্যার তুলনায় সর্বাধিক।

যেহেতু দুটি সংখ্যার পরিসংখ্যাই সর্বোচ্চ (4 বার), তাই উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 15 টাকা এবং 17 টাকা।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যে 131 সংখ্যাটি সর্বাধিক 7 বার আছে।

উত্তর: তাই নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 131 সেমি.।

সমাধান:

(i) প্রদত্ত তথ্যে 4 সংখ্যাটি সর্বাধিক 12 বার উপস্থিত আছে। তাই নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 4।

(ii) প্রদত্ত তথ্যে 10 সংখ্যাটি 5 বার এবং 15 সংখ্যাটিও 5 বার উপস্থিত আছে (যা সর্বাধিক)। তাই নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 10 এবং 15।

সমাধান:

প্রদত্ত তালিকায় সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 5, যা 4 এবং 6 সাইজের জুতোর ক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে।

উত্তর: অতএব, নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 4 এবং 6।

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্যে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 75, যা 18-20 শ্রেণির অন্তর্গত। সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হলো 18-20।

এখানে, নিম্ন শ্রেণি-সীমানা \(L = 18\), \(f_1 = 75\), \(f_0 = 45\), \(f_2 = 38\) এবং শ্রেণি-দৈর্ঘ্য \(h = 2\)।

সংখ্যাগুরুমান \(= L + \frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2} \times h\)
\(= 18 + \frac{75 – 45}{2 \times 75 – 45 – 38} \times 2\)
\(= 18 + \frac{30}{150 – 83} \times 2 = 18 + \frac{60}{67} \approx 18 + 0.895 = 18.89\) (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 18.89 বছর (প্রায়)।

সমাধান:

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 22, যা 20-25 শ্রেণির অন্তর্গত। সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হলো 20-25।

এখানে, \(L = 20\), \(f_1 = 22\), \(f_0 = 16\), \(f_2 = 11\), এবং \(h = 5\)।

সংখ্যাগুরুমান \(= 20 + \frac{22 – 16}{2 \times 22 – 16 – 11} \times 5\)
\(= 20 + \frac{6}{44 – 27} \times 5 = 20 + \frac{30}{17} \approx 20 + 1.76 = 21.76\) (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 21.76 (প্রায়)।

সমাধান:

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 28, যা 15-20 শ্রেণির অন্তর্গত। সুতরাং, সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হলো 15-20।

এখানে, \(L = 15\), \(f_1 = 28\), \(f_0 = 18\), \(f_2 = 17\), এবং \(h = 5\)।

সংখ্যাগুরুমান \(= 15 + \frac{28 – 18}{2 \times 28 – 18 – 17} \times 5\)
\(= 15 + \frac{10}{56 – 35} \times 5 = 15 + \frac{50}{21} \approx 15 + 2.38 = 17.38\) (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 17.38 (প্রায়)।

সমাধান:

শ্রেণিগুলিকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি-সীমানায় পরিণত করলে পাই: 44.5-54.5, 54.5-64.5, 64.5-74.5, 74.5-84.5, 84.5-94.5, 94.5-104.5।

সর্বাধিক পরিসংখ্যা 32 রয়েছে 74.5-84.5 শ্রেণিতে।

এখানে, \(L = 74.5\), \(f_1 = 32\), \(f_0 = 19\), \(f_2 = 12\), এবং \(h = 10\)।

সংখ্যাগুরুমান \(= 74.5 + \frac{32 – 19}{2 \times 32 – 19 – 12} \times 10\)
\(= 74.5 + \frac{13}{64 – 31} \times 10 = 74.5 + \frac{130}{33} \approx 74.5 + 3.94 = 78.44\) (প্রায়)

উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাগুরুমান হলো 78.44 (প্রায়)।

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের মধ্যমা যে লেখচিত্রের সাহায্যে পাওয়া যায় তা হলো—
(a) পরিসংখ্যা রেখা (b) পরিসংখ্যা বহুভুজ (c) আয়তলেখ (d) ওজাইভ ✓

(ii) 6, 7, \(x\), 8, \(y\), 14 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে—
(a) \(x + y = 21\) (b) \(x + y = 19\) ✓ (c) \(x – y = 19\) (d) \(x – y = 21\)

(iii) 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 তথ্যে 35 না থাকলে মধ্যমা বৃদ্ধি পায়—
(a) 2 (b) 1.5 (c) 1 (d) 0.5 ✓

(iv) 16, 15, 17, 16, 15, \(x\), 19, 17, 14 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 15 হলে \(x\)-এর মান—
(a) 15 ✓ (b) 16 (c) 17 (d) 19

(v) ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো 8, 9, 12, 17, \(x + 2\), \(x + 4\), 30, 31, 34, 39 তথ্যের মধ্যমা 24 হলে, \(x\)-এর মান—
(a) 22 (b) 21 ✓ (c) 20 (d) 24

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) 2, 3, 9, 10, 9, 3, 9 তথ্যের সংখ্যাগুরুমান 10। — মিথ্যা (সঠিক উত্তর 9)

(ii) 3, 14, 18, 20, 5 তথ্যের মধ্যমা 18। — মিথ্যা (সঠিক উত্তর 14)

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) যৌগিক গড়, মধ্যমা, সংখ্যাগুরুমান হলো মধ্যগামিতার প্রবণতার মাপক।

(ii) \(x_1, x_2, x_3, …, x_n\) এর গড় \(\bar{x}\) হলে, \(a x_1, a x_2, a x_3, …, a x_n\)-এর গড় \(a \bar{x}\), যেখানে \(a \neq 0\)।

(iii) ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে বিন্যস্ত রাশিতথ্যের যৌগিক গড় নির্ণয়ের সময় সকল শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য সমান।

(i) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটির মধ্যমা শ্রেণির উর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা এবং সংখ্যাগুরুমান শ্রেণির নিম্ন শ্রেণি-সীমানার অন্তরফল নির্ণয় করি।

উত্তর: মোট পরিসংখ্যা \(n = 67\), \(\frac{n}{2} = 33.5\)। ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা থেকে দেখা যায় মধ্যমা শ্রেণি হলো 125-145। এর উর্ধ্ব শ্রেণি-সীমানা = 145।
সর্বাধিক পরিসংখ্যা 20 থাকায় সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হলো 125-145। এর নিম্ন শ্রেণি-সীমানা = 125।
অন্তরফল \(= 145 – 125 = 20\)।

(ii) ১৫০ জন অ্যাথলিট ১০০ মিটার হার্ডল রেস যত সেকেন্ডে সম্পূর্ণ করে তার একটি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক নীচে দেওয়া আছে—

উত্তর: 14.6 সেকেন্ডের কম সময় নেওয়া অ্যাথলিটের সংখ্যা \(= 2 + 4 + 5 + 71 = 82\) জন।

(iii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, \(\sum f_i x_i = 132 + 5k\) এবং \(\sum f_i = 20\) হলে, \(k\)-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর: আমরা জানি, গড় \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
\(\implies 8.1 = \frac{132 + 5k}{20}\)
\(\implies 162 = 132 + 5k\)
\(\implies 5k = 30 \implies k = 6\)

(iv) যদি \(u_i = (x_i – 25) / 10\), \(\sum f_i u_i = 20\) এবং \(\sum f_i = 100\) হয়, তাহলে \(\bar{x}\)-এর মান নির্ণয় করি।

উত্তর: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতি অনুসারে, \(\bar{x} = A + \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h\)
দেওয়া আছে, \(A = 25\) এবং \(h = 10\)।
অতএব, \(\bar{x} = 25 + \frac{20}{100} \times 10 = 25 + 2 = 27\)।

(v) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান শ্রেণিটি লিখি—

উত্তর: সাধারণ পরিসংখ্যা ছক তৈরি করলে পাই:
0-10: 3
10-20: \(12 – 3 = 9\)
20-30: \(27 – 12 = 15\)
30-40: \(57 – 27 = 30\) (সর্বাধিক)
40-50: \(75 – 57 = 18\)
50-60: \(80 – 75 = 5\)
যেহেতু 30-40 শ্রেণির পরিসংখ্যা সর্বাধিক, তাই সংখ্যাগুরুমান শ্রেণি হলো 30-40।