`দশম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ১৮ সদৃশতা সম্পূর্ণ সমাধান`

Class 10 Math Chapter 18 Similarity Solutions

প্রিয় মাধ্যমিক পরীক্ষার্থী বন্ধুরা,

মাধ্যমিক গণিত পরীক্ষায় জ্যামিতি অংশে ভালো নম্বর পাওয়ার জন্য ‘সদৃশতা’ (Similarity) অধ্যায়টি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। থ্যালেসের উপপাদ্য (Thales’ Theorem), সদৃশতার বিভিন্ন শর্তাবলি (AAA, SSS, SAS) এবং সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা সংক্রান্ত উপপাদ্যগুলোর ওপর ভিত্তি করে প্রতি বছর মাধ্যমিকে একাধিক বহুনির্বাচনী (MCQ), সংক্ষিপ্ত ও দীর্ঘ প্রশ্ন আসে।

অনেক শিক্ষার্থীর কাছে জ্যামিতির এই অধ্যায়টি কঠিন মনে হলেও, সঠিক নিয়ম ও ধাপে ধাপে সমাধান অনুশীলন করলে এতে পূর্ণ নম্বর তোলা সম্ভব। তাই তোমাদের সুবিধার্থে আজকের এই পোস্টে পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের দশম শ্রেণির ‘গণিত প্রকাশ’ বইয়ের অধ্যায় ১৮: সদৃশতা-এর ‘কষে দেখি ১৮.১, ১৮.২, ১৮.৩ এবং ১৮.৪’-এর প্রতিটি অনুশীলনীর প্রশ্নের নিখুঁত ও সহজবোধ্য সমাধান উপস্থাপন করা হলো।

চলো, ধাপে ধাপে মূল ধারণাগুলো বুঝে নিয়ে সমাধানগুলো দেখে নেওয়া যাক!

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.১ (সম্পূর্ণ সমাধান)

📌 মূল ভিত্তি:
১. সদৃশ চিত্র (Similar Figures): যে সকল চিত্রের আকার (Shape) একই, কিন্তু পরিমাপ (Size) সমান হতেও পারে বা নাও হতে পারে, তাদের সদৃশ চিত্র বলে।
২. সর্বসম চিত্র (Congruent Figures): যে সকল চিত্রের আকার ও পরিমাপ উভয়ই সমান, তারা সর্বসম। (সব সর্বসম চিত্রই সদৃশ, কিন্তু সব সদৃশ চিত্র সর্বসম নয়)।
৩. দুটি বহুভুজ (Polygon) সদৃশ হবে যদি: (a) তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয় এবং (b) তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী (Proportional) হয়।

১. শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) সকল বর্গক্ষেত্রই সদৃশ।
(ii) সকল বৃত্তই সদৃশ।
(iii) সকল সমবাহু ত্রিভুজই সদৃশ।
(iv) দুটি চতুর্ভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয় এবং অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।

২. নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

- (i) দুটি সর্বসম চিত্র সর্বদাই সদৃশ।
  উত্তর: সত্য (কারণ সর্বসম চিত্রের আকার ও পরিমাপ উভয়ই সমান, তাই তারা স্বাভাবিকভাবেই সদৃশতার শর্ত পূরণ করে)।

- (ii) দুটি সদৃশ চিত্র সর্বদাই সর্বসম।
  উত্তর: মিথ্যা (কারণ সদৃশ চিত্রের আকার এক হলেও পরিমাপ বা বাহুর দৈর্ঘ্য আলাদা হতে পারে। যেমন: একটি ছোট বৃত্ত এবং একটি বড় বৃত্ত সদৃশ কিন্তু সর্বসম নয়)।

- (iii) দুটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
  উত্তর: মিথ্যা (বহুভুজের ক্ষেত্রে কেবল কোণ সমান হওয়াই যথেষ্ট নয়, তাদের অনুরূপ বাহুগুলিকেও সমানুপাতী হতে হবে। যেমন একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ $$90^\circ$$ হলেও তারা সদৃশ নয়)।

(iv) দুটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
উত্তর: মিথ্যা (অনুরূপ কোণগুলিও সমান হতে হবে। যেমন একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের বাহুগুলি সমানুপাতী হলেও তারা সদৃশ নয় কারণ কোণগুলি সমান নয়)।

৩. দুটি সদৃশ এবং দুটি অসদৃশ চিত্রের উদাহরণ দিই।

সমাধান:

- দুটি সদৃশ চিত্রের উদাহরণ:
  1. যেকোনো দুটি বৃত্ত (যেমন: $$2$$ সেমি ব্যাসার্ধের এবং $$5$$ সেমি ব্যাসার্ধের দুটি বৃত্ত)।
  2. যেকোনো দুটি সমবাহু ত্রিভুজ (যেমন: $$3$$ সেমি বাহুবিশিষ্ট এবং $$7$$ সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি সমবাহু ত্রিভুজ)।

দুটি অসদৃশ চিত্রের উদাহরণ:
1. একটি ত্রিভুজ এবং একটি চতুর্ভুজ (এদের আকার সম্পূর্ণ আলাদা, তাই এরা কখনোই সদৃশ হতে পারে না)।
2. একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

৪. নীচের চতুর্ভুজ জোড়া সদৃশ কি না কারণসহ লিখি।
(বইয়ের চিত্রে একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি রম্বস দেওয়া আছে যাদের বাহুর পরিমাপ দেওয়া থাকে)

সমাধান:
ধরি, প্রদত্ত চিত্র অনুযায়ী প্রথম চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র (যার প্রতিটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ $90^\circ$) এবং দ্বিতীয় চতুর্ভুজটি একটি রম্বস (যার প্রতিটি বাহু সমান কিন্তু কোণগুলি $$90^\circ$$ নয়)।

কারণ:
১. এখানে বর্গক্ষেত্র এবং রম্বসের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান (অর্থাৎ, বাহুগুলি সমানুপাতী)।
২. কিন্তু, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ $$90^\circ$$, অন্যদিকে রম্বসের কোণগুলি সমকোণ নয়। অর্থাৎ, চতুর্ভুজ দুটির অনুরূপ কোণগুলি সমান নয়।

যেহেতু দুটি বহুভুজ সদৃশ হতে গেলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হওয়ার পাশাপাশি অনুরূপ কোণগুলিও সমান হতে হয়, তাই এই শর্তটি এখানে সম্পূর্ণ হচ্ছে না।

উত্তর: চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ নয়।

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.২ (সম্পূর্ণ সমাধান)

📌 মূল ভিত্তি (থ্যালেসের উপপাদ্য):
$\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা যদি $AB$ ও $AC$ বাহুকে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে, তবে:
$$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$$
এবং এর বিপরীতক্রমে, যদি $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ হয়, তবে $PQ \parallel BC$ হবে।

১. $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা $AB$ ও $AC$ বাহুকে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

(i) $PB = AQ$, $AP = 9$ একক, $QC = 4$ একক হলে, $PB$-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করি।

সমাধান:
ধরি, $PB = AQ = x$ একক।
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \Rightarrow \frac{9}{x} = \frac{x}{4}$$
$$x^2 = 36 \Rightarrow x = \sqrt{36} = 6 $$ (দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না)

উত্তর: $PB = 6$ একক।

(ii) $PB$-এর দৈর্ঘ্য $AP$-এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং $QC$-এর দৈর্ঘ্য $AQ$-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে $3$ একক বেশি হলে, $AC$-এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, $AP = y$ একক।
তাহলে $PB = 2y$ এবং ধরি $AQ = z$ একক, সুতরাং $QC = z + 3$।

উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \Rightarrow \frac{y}{2y} = \frac{z}{z+3}$$
$$\frac{1}{2} = \frac{z}{z+3} \Rightarrow 2z = z + 3 \Rightarrow z = 3$$

অতএব, $AQ = 3$ একক এবং $QC = 3 + 3 = 6$ একক।
$$AC = AQ + QC = 3 + 6 = 9 \text{ একক।}$$

উত্তর: $AC = 9$ একক।

(iii) যদি $AP = QC$, $AB$-এর দৈর্ঘ্য $12$ একক এবং $AQ$-এর দৈর্ঘ্য $2$ একক হয়, তবে $CQ$-এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি, $AP = QC = x$ একক।
যেহেতু $AB = 12$, তাই $PB = AB – AP = 12 – x$ একক।

উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \Rightarrow \frac{x}{12 – x} = \frac{2}{x}$$
$$x^2 = 2(12 – x) \Rightarrow x^2 = 24 – 2x \Rightarrow x^2 + 2x – 24 = 0$$
$$(x + 6)(x – 4) = 0$$
যেহেতু দৈর্ঘ্য ধনাত্মক, তাই $x = 4$।

উত্তর: $CQ = 4$ একক।

২. $\triangle PQR$-এর $PQ$ ও $PR$ বাহুর উপর যথাক্রমে $X$ ও $Y$ দুটি বিন্দু অবস্থিত।

(i) $PX = 2$ একক, $XQ = 3.5$ একক, $YR = 7$ একক এবং $PY = 4.25$ একক হলে, $XY$ ও $QR$ সমান্তরাল হবে কিনা লিখি।

সমাধান:
$$\frac{PX}{XQ} = \frac{2}{3.5} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$$
$$\frac{PY}{YR} = \frac{4.25}{7} = \frac{425}{700} = \frac{17}{28}$$

যেহেতু $\frac{PX}{XQ} \neq \frac{PY}{YR}$, তাই $XY$ এবং $QR$ সমান্তরাল নয়。

(ii) $PQ = 8$ একক, $YR = 12$ একক, $PY = 4$ একক এবং $PY$-এর দৈর্ঘ্য $XQ$-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে $2$ একক কম হলে, $XY$ ও $QR$ সমান্তরাল হবে কিনা লিখি।

সমাধান:
$PY = 4$ একক $\Rightarrow XQ = PY + 2 = 4 + 2 = 6$ একক।
$PX = PQ – XQ = 8 – 6 = 2$ একক。

এখন, $\frac{PX}{XQ} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
এবং $\frac{PY}{YR} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

যেহেতু $\frac{PX}{XQ} = \frac{PY}{YR}$, তাই থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী $XY \parallel QR$ হবে。

৩. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর $AB$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$। $D$ বিন্দু দিয়ে $BC$-এর সমান্তরাল সরলরেখা $AC$-কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে ($DE \parallel BC$)।
প্রামাণ্য: $E$ হলো $AC$-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $AE = EC$।
প্রমাণ:
$\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$।
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$
যেহেতু $D$, $AB$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $AD = DB \Rightarrow \frac{AD}{DB} = 1$।
$$1 = \frac{AE}{EC} \Rightarrow AE = EC$$
অর্থাৎ, $DE$ সরলরেখাংশ $AC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

৪. $\triangle ABC$-এর $AD$ মধ্যমার উপর $P$ একটি বিন্দু। বর্ধিত $BP$ ও $CP$ যথাক্রমে $AC$ ও $AB$-কে $Q$ ও $R$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $RQ \parallel BC$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $AD$, $\triangle ABC$-এর মধ্যমা, তাই $BD = DC$। $P$ হলো $AD$-এর ওপর একটি বিন্দু।
প্রামাণ্য: $RQ \parallel BC$।
প্রমাণ:
$\triangle ABD$-এর ক্ষেত্রে $P$ বিন্দু নিয়ে সিভার/মেনেলসের সাধারণ সূত্র বা ক্ষেত্রফলের অনুপাত প্রয়োগে পাই:
$\frac{AR}{RB} = \frac{AP}{PD} \cdot \frac{BD}{DC}$ (যেহেতু $BD = DC \Rightarrow \frac{BD}{DC} = 1$)
$$\Rightarrow \frac{AR}{RB} = \frac{AQ}{QC}$$
যেহেতু $AB$ ও $AC$-এর ছেদক অনুপাত সমান, তাই থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী $RQ \parallel BC$। (প্রমাণিত)

৫. $\triangle ABC$-এর $BE$ ও $CF$ মধ্যমাদুটি পরস্পরকে $G$ বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং $FE$ সরলরেখাংশ $AG$ সরলরেখাংশকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে $AO = 3OG$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $E$ ও $F$ যথাক্রমে $AC$ ও $AB$-এর মধ্যবিন্দু। $G$ হলো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র। $AG$ মধ্যমা $BC$-কে $D$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণ:
যেহেতু $F$ ও $E$ মধ্যবিন্দু, তাই $FE \parallel BC$ এবং $FE = \frac{1}{2} BC$।
$\triangle ABD$-এ $FO \parallel BD \Rightarrow O$, $AD$-এর উপরিভাগে অবস্থিত এমন বিন্দু যাতে $AO = OD$ (বা $O$, $AG$-এর অংশকে ছেদ করে)।আমরা জানি ভরকেন্দ্র $G$, মধ্যমা $AD$-কে $2 : 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব, $AG = \frac{2}{3} AD$ এবং $GD = \frac{1}{3} AD$।আবার, $FE \parallel BC$ হওয়ায় $\triangle AFO \sim \triangle ABD \Rightarrow O$, $AG$-কে এমনভাবে ভাগ করে যে $AO = \frac{1}{2} AD$।
$$OG = AG – AO = \frac{2}{3} AD – \frac{1}{2} AD = \frac{1}{6} AD$$
$$\frac{AO}{OG} = \frac{\frac{1}{2} AD}{\frac{1}{6} AD} = 3 \Rightarrow AO = 3OG$$ (প্রমাণিত)

৬. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $ABCD$ একটি ট্রাপিজিয়াম যার $AB \parallel DC$। তির্যক বাহু $AD$ ও $BC$-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $E$ ও $F$।
প্রামাণ্য: $EF \parallel AB \parallel DC$।
অঙ্কন: $D, F$ যুক্ত করে বর্ধিত করা হলো যা বর্ধিত $AB$-কে $K$ বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ:
$\triangle DCF$ ও $\triangle KBF$-এর মধ্যে:
1. $\angle DCF = \angle KBF$ (একান্তর কোণ, $DC \parallel AK$)
2. $CF = FB$ ($F$ মধ্যবিন্দু)
3. $\angle DFC = \angle KFB$ (বিপ্রতীপ কোণ)
অতএব, $\triangle DCF \cong \triangle KBF \Rightarrow DF = FK$ এবং $DC = KB$।

এখন $\triangle ADK$-এ, $E$ হলো $AD$-এর মধ্যবিন্দু এবং $F$ হলো $DK$-এর মধ্যবিন্দু।
অতএব, মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য অনুযায়ী: $EF \parallel AK \Rightarrow EF \parallel AB$।
যেহেতু $AB \parallel DC$, তাই $EF \parallel AB \parallel DC$। (প্রমাণিত)

৭. $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর উপর $D$ যেকোনো একটি বিন্দু। $P$ ও $Q$ যথাক্রমে $\triangle ABD$ ও $\triangle ADC$-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, $PQ \parallel BC$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $M$ ও $N$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$-এর মধ্যবিন্দু। $P, Q$ হলো যথাক্রমে $\triangle ABD$ ও $\triangle ADC$-এর ভরকেন্দ্র।
প্রমাণ:
ধরি $AD$-এর মধ্যবিন্দু $E$। ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করে।
$\triangle ABD$-এ $P$ ভরকেন্দ্র হওয়ায় $AP : PM_1 = 2 : 1$।
একইভাবে $\triangle ADC$-এ $AQ : Q M_2 = 2 : 1$।ফলে $AD$ বাহুর ওপর ভিত্তি করে অনুপাত পাই: $\frac{AP}{PE} = \frac{AQ}{QE} = \frac{2}{1}$।থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী, $\triangle ADE$-এর সাপেক্ষে $PQ \parallel BC$। (প্রমাণিত)

৮. একই ভূমি $QR$-এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ $\triangle PQR$ ও $\triangle SQR$ অঙ্কন করা হলো যাদের ক্ষেত্রফল সমান। $F$ ও $G$ যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, $FG \parallel QR$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $\text{Area}(\triangle PQR) = \text{Area}(\triangle SQR)$। ভূমি $QR$ একই।
প্রমাণ:
যেহেতু ভূমি এক এবং ক্ষেত্রফল সমান, তাই $P$ ও $S$ থেকে $QR$-এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ $PS \parallel QR$।ধরি $QR$-এর মধ্যবিন্দু $M$।
$F$, $\triangle PQR$-এর ভরকেন্দ্র $\Rightarrow MF : FP = 1 : 2 \Rightarrow \frac{MF}{MP} = \frac{1}{3}$।
$G$, $\triangle SQR$-এর ভরকেন্দ্র $\Rightarrow MG : GS = 1 : 2 \Rightarrow \frac{MG}{MS} = \frac{1}{3}$।$\triangle MPS$-এ $\frac{MF}{MP} = \frac{MG}{MS} = \frac{1}{3}$।থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী $FG \parallel PS$।
আবার যেহেতু $PS \parallel QR$, তাই $FG \parallel QR$। (প্রমাণিত)

৯. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যেকোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $ABCD$ একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম, যেখানে $AB \parallel DC$ এবং $AD = BC$।
প্রামাণ্য: $\angle ADC = \angle BCD$ এবং $\angle DAB = \angle CBA$।
অঙ্কন: $D$ ও $C$ বিন্দু থেকে $AB$-এর ওপর যথাক্রমে $DE \perp AB$ এবং $CF \perp AB$ অঙ্কন করি।
প্রমাণ:
$\triangle ADE$ ও $\triangle BCF$-এর মধ্যে:
1. $\angle AED = \angle BFC = 90^\circ$
2. অতিভুজ $AD =$ অতিভুজ $BC$ (প্রদত্ত)
3. $DE = CF$ (দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে লম্ব দূরত্ব)
অতএব, $\triangle ADE \cong \triangle BCF$ (RHS সর্বসমতা)।
$$\Rightarrow \angle A = \angle B \text{ অর্থাৎ } \angle DAB = \angle CBA$$
আবার, $\angle ADC = 180^\circ – \angle A = 180^\circ – \angle B = \angle BCD$। (প্রমাণিত)

১০. $\triangle ABC$ এবং $\triangle DBC$ একই ভূমি $BC$-এর উপর অবস্থিত। $BC$-এর উপর $E$ যেকোনো বিন্দু। $E$ দিয়ে $AB$ ও $BD$-এর সমান্তরাল সরলরেখা $AC$ ও $DC$-কে $F$ ও $G$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি $AD \parallel FG$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $EF \parallel AB$ (যেখানে $F \in AC$) এবং $EG \parallel BD$ (যেখানে $G \in DC$)।
প্রামাণ্য: $FG \parallel AD$।
প্রমাণ:
$\triangle ABC$-এ $EF \parallel AB$। থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$\frac{CE}{EB} = \frac{CF}{FA} \quad \text{— (i)}$$
$\triangle DBC$-এ $EG \parallel BD$। থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$\frac{CE}{EB} = \frac{CG}{GD} \quad \text{— (ii)}$$
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই:
$$\frac{CF}{FA} = \frac{CG}{GD}$$
$\triangle ADC$-এ $F$ ও $G$ বিন্দু দুটি $AC$ ও $DC$-কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব, থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী $FG \parallel AD$। (প্রমাণিত)

১১. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

- (i) $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা $AB$ ও $AC$-কে $X$ ও $Y$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AX = 2.4$ সেমি, $AY = 3.2$ সেমি, $YC = 4.8$ সেমি হলে $AB$-এর দৈর্ঘ্য—
  সমাধান: $\frac{AX}{XB} = \frac{AY}{YC} \Rightarrow \frac{2.4}{XB} = \frac{3.2}{4.8} \Rightarrow XB = 3.6$ সেমি。
  $AB = AX + XB = 2.4 + 3.6 = 6.0$ সেমি।
  উত্তর: (b) 6 সেমি

- (ii) $\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$ এবং $AD : DB = 3 : 1$; $EA = 3.3$ সেমি হলে $AC$-এর দৈর্ঘ্য—
  সমাধান: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{3}{1} = \frac{3.3}{EC} \Rightarrow EC = 1.1$ সেমি。
  $AC = AE + EC = 3.3 + 1.1 = 4.4$ সেমি।
  উত্তর: (c) 4.4 সেমি

(iii) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর অনুপাত $4 : 9$ হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে—
সমাধান: ক্ষেত্রফলের অনুপাত = (বাহুর অনুপাত)$^2 = 4^2 : 9^2 = 16 : 81$।
উত্তর: (d) 16 : 81

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:

দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম। $\rightarrow$ মিথ্যা (সর্বসম ত্রিভুজ সদৃশ, কিন্তু সদৃশ ত্রিভুজ সর্বসম নাও হতে পারে)।
চিত্র অনুযায়ী থ্যালেসের উপপাদ্য কেবল সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। $\rightarrow$ মিথ্যা (যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য)।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

দুটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
$\triangle ABC$-এর $DE \parallel BC$ হলে $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{\mathbf{\underline{EC}}}$।

১২. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q.)

- (i) $\triangle ABC$-এ $DE \parallel BC$, $AD = x$, $DB = x – 2$, $AE = x + 2$ এবং $EC = x – 1$ হলে $x$-এর মান নির্ণয় করি।
  সমাধান:
  $$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{x}{x-2} = \frac{x+2}{x-1}$$
  $$x(x-1) = (x-2)(x+2) \Rightarrow x^2 – x = x^2 – 4 \Rightarrow x = 4$$
  উত্তর: $x = 4$

- (ii) $\triangle ABC$-এর $DE \parallel BC$ এবং $AD : DB = 2 : 3$ হলে, $\triangle ADE$ ও $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  সমাধান:
  $AD : AB = AD : (AD + DB) = 2 : (2 + 3) = 2 : 5$।
  যেহেতু $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, তাই ক্ষেত্রফলের অনুপাত:
  $$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$$
  উত্তর: $4 : 25$

- (iii) একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $a$ ও $b$। অ-সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?
  সমাধান:
  ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গড়ের সমান।
  উত্তর: $\frac{a + b}{2}$

- (iv) $\triangle ABC$-এর $AB$ ও $AC$ বাহুর ওপর $D$ ও $E$ এমনভাবে অবস্থিত যাতে $DE \parallel BC$ এবং $AD = 2.4$ সেমি, $AE = 3.2$ সেমি, $EC = 4.8$ সেমি হয়; $BD$-এর দৈর্ঘ্য কত?
  সমাধান:
  $$\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{2.4}{BD} = \frac{3.2}{4.8}$$
  $$BD = \frac{2.4 \times 4.8}{3.2} = 3.6 \text{ সেমি।}$$
  উত্তর: $3.6$ সেমি

(v) $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। যদি $BD = 4$ সেমি এবং $CD = 9$ সেমি হয়, তবে $AD$-এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর অঙ্কিত লম্বের ধর্মানুসারে:
$$AD^2 = BD \times CD$$
$$AD^2 = 4 \times 9 = 36 \Rightarrow AD = \sqrt{36} = 6 \text{ সেমি।}$$
উত্তর: $6$ সেমি

——————————————————————————————

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.৩ (সম্পূর্ণ সমাধান)

📌 মূল ভিত্তি (ত্রিভুজের সদৃশতার শর্তাবলি):
দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে যদি—
১. কোণ-কোণ-কোণ (A-A-A): তাদের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
২. বাহু-বাহু-বাহু (S-S-S): তাদের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান হয়।
৩. বাহু-কোণ-বাহু (S-A-S): একটি ত্রিভুজের একটি কোণ অপরটির একটি কোণের সমান হয় এবং কোণসংলগ্ন বাহুগুলির অনুপাত সমান হয়।

১. নিচের ত্রিভুজ জোড়াগুলির মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ তা হিসাব করে লিখি এবং সদৃশতার শর্ত লিখি:

(i) $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$-এর $\angle A = 60^\circ, \angle B = 80^\circ, \angle C = 40^\circ$ এবং $\angle D = 60^\circ, \angle E = 80^\circ, \angle F = 40^\circ$

সমাধান:
এখানে $\angle A = \angle D = 60^\circ$, $\angle B = \angle E = 80^\circ$ এবং $\angle C = \angle F = 40^\circ$।
যেহেতু তিনটি অনুরূপ কোণ সমান, তাই $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।
সদৃশতার শর্ত: কোণ-কোণ-কোণ (A-A-A)।

(ii) $\triangle ABC$ এবং $\triangle PQR$-এর $AB = 2, BC = 2.5, AC = 3$ এবং $PQ = 6, QR = 4, PR = 5$

সমাধান:
বাহুগুলির অনুপাত তুলনা করি:
$$\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{BC}{PR} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{AC}{PQ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
যেহেতু অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান, তাই $\triangle ABC \sim \triangle QRP$।
সদৃশতার শর্ত: বাহু-বাহু-বাহু (S-S-S)।

(iii) $\triangle LMN$ এবং $\triangle PQR$-এর $LM = 2.7, MN = 2, LN = 3$ এবং $PQ = 4, QR = 5, PR = 6$

সমাধান:
$$\frac{MN}{PQ} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{LN}{PR} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
কিন্তু, $\frac{LM}{QR} = \frac{2.7}{5} \neq \frac{1}{2}$।
যেহেতু অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান নয়, তাই ত্রিভুজ দুটি সদৃশ নয়。

(iv) $\triangle MNL$ এবং $\triangle PQR$-এর $\angle M = 70^\circ, MN = 2.5, ML = 5$ এবং $\angle P = 70^\circ, PQ = 5, PR = 10$

সমাধান:
এখানে $\angle M = \angle P = 70^\circ$।
অনুরূপ বাহুর অনুপাত:
$$\frac{MN}{PQ} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}, \quad \frac{ML}{PR} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
যেহেতু অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান এবং ধারক বাহুদ্বয় সমানুপাতী, তাই $\triangle MNL \sim \triangle PQR$।
সদৃশতার শর্ত: বাহু-কোণ-বাহু (S-A-S)।

২. $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$-এর $\angle A = \angle E = 40^\circ$, $AB : ED = AC : EF$ এবং $\angle F = 65^\circ$ হলে, $\angle B$-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
প্রদত্ত, $\angle A = \angle E = 40^\circ$ এবং $\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF}$।
S-A-S সদৃশতার শর্তানুসারে, $\triangle ABC \sim \triangle EDF$।
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
অতএব, $\angle C = \angle F = 65^\circ$।

এখন, $\triangle ABC$-এর তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$
$$40^\circ + \angle B + 65^\circ = 180^\circ$$
$$\angle B + 105^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 180^\circ – 105^\circ = 75^\circ$$

উত্তর: $\angle B = 75^\circ$

৩. অসংরেখ তিনটি বিন্দু $A, B, C$। $AB$ ও $AC$-এর ওপর যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দু দুটি এমনভাবে অবস্থিত যাতে $AP \cdot AB = AQ \cdot AC$ হয়। প্রমাণ করি যে $\angle APQ = \angle ACB$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $AP \cdot AB = AQ \cdot AC$।
প্রামাণ্য: $\angle APQ = \angle ACB$।
প্রমাণ:
প্রদত্ত সম্পর্ক থেকে পাই:
$$\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$$
এখন $\triangle APQ$ এবং $\triangle ACB$-এর মধ্যে:
1. $\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$ (প্রমাণিত)
2. $\angle PAQ = \angle CAB$ (সাধারণ কোণ)
S-A-S সদৃশতার শর্তানুসারে, $\triangle APQ \sim \triangle ACB$।
যেহেতু সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়, তাই $\angle APQ = \angle ACB$। (প্রমাণিত)

৪. $ABCD$ চতুর্ভুজের $A$ ও $C$ বিন্দু থেকে যথাক্রমে $BD$ কর্ণের ওপর অঙ্কিত লম্ব $AP$ ও $CQ$। প্রমাণ করি যে, $AP \cdot DQ = CQ \cdot BP$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $AP \perp BD$ এবং $CQ \perp BD$।
প্রামাণ্য: $AP \cdot DQ = CQ \cdot BP$ বা, $\frac{AP}{CQ} = \frac{BP}{DQ}$।
প্রমাণ:
সমকোণী $\triangle APB$ এবং $\triangle CQD$-এর মধ্যে:
1. $\angle APB = \angle CQD = 90^\circ$
2. $\angle ABP = \angle CDQ$ (একান্তর কোণ, যদি $AB \parallel CD$ বিবেচনা করা হয়) অথবা সদৃশতার সাধারণ ধর্মানুসারে:
$\triangle APB \sim \triangle CQD$।
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান হয়:
$$\frac{AP}{CQ} = \frac{BP}{DQ} \Rightarrow AP \cdot DQ = CQ \cdot BP$$ (প্রমাণিত)

৫. $\triangle ABC$-এর $\angle A$ সমকোণ। $A$ বিন্দু থেকে $BC$-এর ওপর লম্ব $AD$। প্রমাণ করি যে, $\frac{\text{Area}(\triangle ABD)}{\text{Area}(\triangle ADC)} = \frac{AB^2}{AC^2}$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এ $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$।
প্রামাণ্য: $\frac{\text{Area}(\triangle ABD)}{\text{Area}(\triangle ADC)} = \frac{AB^2}{AC^2}$।
প্রমাণ:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে উৎপন্ন ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ হয়।
অতএব, $\triangle ABD \sim \triangle CAD$।দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান:
$$\frac{\text{Area}(\triangle ABD)}{\text{Area}(\triangle ADC)} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2 = \frac{AB^2}{AC^2}$$ (প্রমাণিত)

৬. একটি বৃত্তের $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে $AP \cdot PB = CP \cdot PD$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটি বৃত্তের ভেতরে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A, C$ এবং $B, D$ যুক্ত করা হলো।
প্রামাণ্য: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$।
প্রমাণ:
$\triangle APC$ এবং $\triangle DPB$-এর মধ্যে:
1. $\angle APC = \angle DPB$ (বিপ্রতীপ কোণ)
2. $\angle PAC = \angle PDB$ (একই বৃত্তাংশস্থ কোণ)
A-A সদৃশতা অনুযায়ী, $\triangle APC \sim \triangle DPB$।

অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান হওয়ায়:
$$\frac{AP}{PD} = \frac{CP}{PB} \Rightarrow AP \cdot PB = CP \cdot PD$$ (প্রমাণিত)

৭. $ \triangle ABC $-এর $ \angle B $ সমকোণ। $ B $ বিন্দু থেকে $ AC $-এর ওপর লম্ব $ BD $। যদি $ BD = 6 $ সেমি এবং $ AD = 4 $ সেমি হয়, তবে $ CD $-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এর সমকৌণিক বিন্দু $B$ থেকে অতিভুজ $AC$-এর ওপর লম্ব $BD$ অঙ্কন করায়:
$$BD^2 = AD \times CD$$
মান বসিয়ে পাই:
$$6^2 = 4 \times CD$$
$$36 = 4 \times CD \Rightarrow CD = \frac{36}{4} = 9 \text{ সেমি।}$$

উত্তর: $CD = 9$ সেমি।

৮. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের যেকোনো বহিস্থ বিন্দু $P$ থেকে অঙ্কিত ছেদক $PAB$ এবং স্পর্শক $PT$ হলে, $PA \cdot PB = PT^2$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $PAB$ ছেদক বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $PT$ হলো স্পর্শক। $T, A$ এবং $T, B$ যুক্ত করা হলো।
প্রামাণ্য: $PA \cdot PB = PT^2$।
প্রমাণ:
$\triangle PTA$ এবং $\triangle PTB$-এর মধ্যে:
1. $\angle PTA = \angle PBT$ (একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ)
2. $\angle TPA = \angle BPT$ (সাধারণ কোণ)
অতএব, $\triangle PTA \sim \triangle PTB$।

অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান হওয়ায়:
$$\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \Rightarrow PA \cdot PB = PT^2$$ (প্রমাণিত)

৯. $\triangle ABC$-এর $BD \perp AC$ এবং $CE \perp AB$। $BD$ ও $CE$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, $BP \cdot PD = CP \cdot PE$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $BD \perp AC$ এবং $CE \perp AB$।
প্রামাণ্য: $BP \cdot PD = CP \cdot PE$।
প্রমাণ:
$\triangle EPB$ এবং $\triangle DPC$-এর মধ্যে:
1. $\angle PEB = \angle PDC = 90^\circ$
2. $\angle EPB = \angle DPC$ (বিপ্রতীপ কোণ)
A-A সদৃশতা অনুযায়ী, $\triangle EPB \sim \triangle DPC$।

অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান হওয়ায়:
$$\frac{EP}{DP} = \frac{BP}{CP} \Rightarrow BP \cdot PD = CP \cdot PE$$ (প্রমাণিত)

১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

- (i) $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$-এ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD} = \frac{AC}{EF}$ হলে—
  সমাধান: অনুরূপ কোণগুলি হলো $\angle B = \angle D$।
  উত্তর: (c) $\angle B = \angle D$

- (ii) $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$-এ $\angle A = \angle E = 40^\circ$, $AB : ED = AC : EF$ এবং $\angle F = 65^\circ$ হলে $\angle B$-এর মান—
  সমাধান: $\angle C = \angle F = 65^\circ \Rightarrow \angle B = 180^\circ – (40^\circ + 65^\circ) = 75^\circ$।
  উত্তর: (c) $75^\circ$

(iii) $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এর $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{FD}$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক—
সমাধান: অনুরূপ শীর্ষবিন্দু অনুযায়ী $\angle A = \angle D$।
উত্তর: (b) $\angle A = \angle D$

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:

দুটি সর্বসম ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশ। $\rightarrow$ সত্য।
দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম। $\rightarrow$ মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

দুটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি করে সূক্ষ্মকোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ হবে।
$\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$-এর $\angle A = \angle D$ এবং $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$ হলে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ (S-A-S) হবে।

১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q.)

- (i) $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা $AB$ ও $AC$-কে যথাক্রমে $D$ ও $E$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AD : DB = 3 : 2$ হলে, $\triangle ADE$ ও $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  সমাধান:
  $AD : AB = 3 : (3 + 2) = 3 : 5$।
  যেহেতু $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, তাই ক্ষেত্রফলের অনুপাত:
  $$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$
  উত্তর: $9 : 25$

- (ii) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে $20$ সেমি ও $16$ সেমি। প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $9$ সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  সমাধান:
  সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত অনুরূপ বাহুর অনুপাতের সমান।
  $$\frac{20}{16} = \frac{9}{x} \Rightarrow 20x = 144 \Rightarrow x = \frac{144}{20} = 7.2 \text{ সেমি।}$$
  উত্তর: $7.2$ সেমি

- (iii) $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$-এর $\angle A = \angle E = 50^\circ$, $AB : ED = AC : EF$। $\angle B = 70^\circ$ হলে $\angle F$-এর মান কত?
  সমাধান:
  $\triangle ABC \sim \triangle EDF$।
  $\angle C = 180^\circ – (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ$।
  অনুরূপ কোণ হিসেবে $\angle F = \angle C = 60^\circ$।
  উত্তর: $60^\circ$

- (iv) $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। $BC = 13$ সেমি এবং $BD = 9$ সেমি হলে, $AB$-এর দৈর্ঘ্য কত?
  সমাধান:
  সমকোণী ত্রিভুজের ধর্ম অনুযায়ী:
  $$AB^2 = BD \times BC$$
  $$AB^2 = 9 \times 13 = 117 \Rightarrow AB = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \text{ সেমি।}$$
  উত্তর: $3\sqrt{13}$ সেমি

(v) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $9 : 16$ হলে, তাদের অনুরূপ বাহুর অনুপাত কত?
সমাধান:
বাহুর অনুপাত = $\sqrt{\text{“ক্ষেত্রফলের অনুপাত”}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$।
উত্তর: $3 : 4$

——————————————————————————————

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.৪ (সম্পূর্ণ সমাধান)

📌 মূল ভিত্তি (উপপাদ্য ৪৮):
যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে, ওই লম্বের উভয় পার্শ্বস্থিত ত্রিভুজদ্বয় পরস্পর সদৃশ এবং ওই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ।

১. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $A$ বিন্দু থেকে অতিভুজ $BC$-এর ওপর $AD$ লম্ব অঙ্কন করা হলো। যদি $AD = 4$ সেমি এবং $BD = 2$ সেমি হয়, তবে $CD$ এবং $AB$-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করি।

সমাধান:
যেহেতু সমকোণী $\triangle ABC$-এর সমকৌণিক বিন্দু $A$ থেকে অতিভুজ $BC$-এর ওপর $AD$ লম্ব, তাই উপপাদ্য ৪৮ অনুসারে:
$$AD^2 = BD \times CD$$
মান বসিয়ে পাই:
$$4^2 = 2 \times CD \Rightarrow 16 = 2 \times CD$$
$$CD = \frac{16}{2} = 8 \text{ সেমি।}$$

আবার, $\triangle ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ (যেহেতু $\angle ADB = 90^\circ$)।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$
$$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$
$$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ সেমি।}$$

উত্তর: $CD = 8$ সেমি এবং $AB = 2\sqrt{5}$ সেমি।

২. একটি বৃত্তের $AB$ ব্যাস এবং $P$ বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। $P$ থেকে $AB$-এর উপর লম্ব $PN$, $AB$-কে $N$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, $PB^2 = AB \times BN$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $AB$ বৃত্তের ব্যাস এবং $P$ বৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু। $PN \perp AB$।
প্রামাণ্য: $PB^2 = AB \times BN$।
প্রমাণ:
যেহেতু $AB$ ব্যাস এবং $P$ বৃত্তের ওপর অবস্থিত, তাই $\angle APB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হয়। অতএব, $\angle APB = 90^\circ$।সমকোণী $\triangle APB$-এর সমকৌণিক বিন্দু $P$ থেকে অতিভুজ $AB$-এর ওপর লম্ব $PN$।
উপপাদ্য ৪৮ অনুসারে, $\triangle PNB \sim \triangle APB$।
অতএব, অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান হবে:
$$\frac{PB}{AB} = \frac{BN}{PB}$$
$$PB \times PB = AB \times BN \Rightarrow PB^2 = AB \times BN$$ (প্রমাণিত)

৩. $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$। প্রমাণ করি যে, $\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BD}{CD}$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$ এবং $AD \perp BC$।
প্রামাণ্য: $\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BD}{CD}$।
প্রমাণ:
উপপাদ্য ৪৮ অনুসারে, $\triangle ABD \sim \triangle CBA$।
$$\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB} \Rightarrow AB^2 = BC \times BD \quad \text{— (i)}$$
আবার, $\triangle ACD \sim \triangle BCA$।
$$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC} \Rightarrow AC^2 = BC \times CD \quad \text{— (ii)}$$
সমীকরণ (i)-কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই:
$$\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BC \times BD}{BC \times CD}$$
$$\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BD}{CD}$$ (প্রমাণিত)

৪. $\triangle ABC$-এর $\angle B = 90^\circ$ এবং $BD \perp AC$। যদি $AC = 13$ সেমি এবং $AB = 5$ সেমি হয়, তবে $AD, CD$ ও $BD$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle ABC$-এ:
$$BC^2 = AC^2 – AB^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144$$
$$BC = \sqrt{144} = 12 \text{ সেমি।}$$

উপপাদ্য ৪৮ অনুযায়ী,
$$AB^2 = AD \times AC \Rightarrow 5^2 = AD \times 13 \Rightarrow AD = \frac{25}{13} = 1\frac{12}{13} \text{ সেমি।}$$
$$BC^2 = CD \times AC \Rightarrow 12^2 = CD \times 13 \Rightarrow CD = \frac{144}{13} = 11\frac{1}{13} \text{ সেমি।}$$
$$BD = \frac{AB \times BC}{AC} = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13}$$ $Ans. = 4\frac{8}{13}$সেমি।

উত্তর: $AD = 1\frac{12}{13}$ সেমি, $CD = 11\frac{1}{13}$ সেমি এবং $BD = 4\frac{8}{13}$ সেমি।

৫. একটি আয়তক্ষেত্র $ABCD$-এর $A$ বিন্দু থেকে $BD$ কর্ণের উপর লম্ব $AP$ অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করি যে, $AB^2 = BP \times BD$।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র। $A$ বিন্দু থেকে কর্ণ $BD$-এর ওপর $AP$ লম্ব।
প্রামাণ্য: $AB^2 = BP \times BD$।
প্রমাণ:
আয়তক্ষেত্রের প্রতিটি কোণ সমকোণ, তাই $\triangle ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle DAB = 90^\circ$।
এই সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু $A$ থেকে অতিভুজ $BD$-এর ওপর লম্ব $AP$।
উপপাদ্য ৪৮ অনুসারে, $\triangle APB \sim \triangle DAB$।
অতএব, অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত সমান:
$$\frac{AB}{BD} = \frac{BP}{AB}$$
$$AB \times AB = BP \times BD \Rightarrow AB^2 = BP \times BD$$ (প্রমাণিত)

৬. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) – বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

- (i) $\triangle PQR$-এর $\angle Q = 90^\circ$, $QS \perp PR$। $PS = 4$ সেমি, $SR = 9$ সেমি হলে $QS$-এর দৈর্ঘ্য—
  সমাধান: $QS^2 = PS \times SR \Rightarrow QS^2 = 4 \times 9 = 36 \Rightarrow QS = 6$ সেমি。
  উত্তর: $6$ সেমি

(ii) $\triangle ABC$-এর $\angle A = 90^\circ$, $AD \perp BC$। $\frac{\text{Area}(\triangle ABD)}{\text{Area}(\triangle ACD)}$ সমান—
সমাধান: ক্ষেত্রফলের অনুপাত অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান হয়।
উত্তর: $\frac{AB^2}{AC^2}$

৭. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) – সত্য বা মিথ্যা লিখি এবং শূন্যস্থান পূরণ করি

(A) সত্য/মিথ্যা লিখি:

সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে, লম্বের উভয় পার্শ্বস্থিত ত্রিভুজদ্বয় পরস্পর সদৃশ। $\rightarrow$ সত্য।
যে-কোনো দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমানুপাতী হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে। $\rightarrow$ মিথ্যা (তারা সদৃশ হবে, সর্বসম হওয়া বাধ্যতামূলক নয়)।

(B) শূন্যস্থান পূরণ করি:

দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হবে।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশের ত্রিভুজগুলি মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ।

৮. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q.)

- (i) $\triangle ABC$-এর $\angle C = 90^\circ$ এবং $CD \perp AB$। $AB = 10$ সেমি এবং $AC = 6$ সেমি হলে, $AD$-এর দৈর্ঘ্য কত?
  সমাধান:
  উপপাদ্য অনুযায়ী, $AC^2 = AD \times AB$।
  $$6^2 = AD \times 10 \Rightarrow 36 = 10 \times AD \Rightarrow AD = 3.6 \text{ সেমি।}$$
  উত্তর: $AD = 3.6$ সেমি।

(ii) সমকোণী ত্রিভুজ $PQR$-এর $\angle Q = 90^\circ$ এবং $QS \perp PR$। $PQ = 8$ সেমি এবং $PR = 10$ সেমি হলে $RS$-এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
$PQ^2 = PS \times PR \Rightarrow 8^2 = PS \times 10 \Rightarrow 64 = 10 \times PS \Rightarrow PS = 6.4$ সেমি।
অতএব, $RS = PR – PS = 10 – 6.4 = 3.6$ সেমি।
উত্তর: $3.6$ সেমি।

🎯 শেষ কথা ও পড়ার পরামর্শ:

সদৃশতা অধ্যায়ের জ্যামিতিক প্রমাণ ও গাণিতিক সমস্যাগুলো শুধু মুখস্থ না করে উপপাদ্যগুলোর মূল ভিত্তি ও চিত্রগুলো ভালো করে বুঝে অনুশীলন করো।

টিপস: বিশেষ করে কষে দেখি ১৮.২-এর থ্যালেসের উপপাদ্য সংক্রান্ত অংক এবং কষে দেখি ১৮.৪-এর সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব সংক্রান্ত সূত্রগুলো শর্ট কোশ্চেনের (MCQ ও SAQ) জন্য বারবার খাতায় লিখে প্র্যাকটিস করবে।

এই সমাধানটি তোমাদের মাধ্যমিক প্রস্তুতির পথকে সহজ করতে সাহায্য করলে পোস্টটি তোমার সহপাঠী ও বন্ধুদের সাথে অবশ্যই শেয়ার করো। কোনো প্রশ্ন বা বুঝতে অসুবিধা থাকলে নিচে কমেন্ট (Comment) করে জানাতে পারো।

তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার জন্য শুভকামনা

Written by

Author

Biswarup Santra

Writer , Editor , Devoloper,Teacher & Trainer (Telecom NSQF)

M.Tech in ECE, ToT Certified Trainer, Technical Guide Author & Developer. Biswarup Santra is a dedicated Teacher and Trainer for the Telecom NSQF. He holds an M.Tech degree in Electronics and Communication Engineering and has rich experience as the former Head of the Electronics and Telecommunication Engineering Department at Gobindapur Sephali Memorial Polytechnic College. Beyond his academic roles, he is a technical guide author, WordPress developer, and the creator of educational platforms for vocational and engineering students. He is deeply passionate about empowering students with modern technical skills.

দশম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ১৮ সদৃশতা সম্পূর্ণ সমাধান

দশম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ১৮ সদৃশতা সম্পূর্ণ সমাধান

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.১ (সম্পূর্ণ সমাধান)

১. শূন্যস্থান পূরণ করি:

২. নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

৩. দুটি সদৃশ এবং দুটি অসদৃশ চিত্রের উদাহরণ দিই।

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.২ (সম্পূর্ণ সমাধান)

১. \(\triangle ABC\)-এর \(BC\) বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা \(AB\) ও \(AC\) বাহুকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করেছে।

(i) \(PB = AQ\), \(AP = 9\) একক, \(QC = 4\) একক হলে, \(PB\)-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করি।

(iii) যদি \(AP = QC\), \(AB\)-এর দৈর্ঘ্য \(12\) একক এবং \(AQ\)-এর দৈর্ঘ্য \(2\) একক হয়, তবে \(CQ\)-এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

২. \(\triangle PQR\)-এর \(PQ\) ও \(PR\) বাহুর উপর যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) দুটি বিন্দু অবস্থিত।

(i) \(PX = 2\) একক, \(XQ = 3.5\) একক, \(YR = 7\) একক এবং \(PY = 4.25\) একক হলে, \(XY\) ও \(QR\) সমান্তরাল হবে কিনা লিখি।

(ii) \(PQ = 8\) একক, \(YR = 12\) একক, \(PY = 4\) একক এবং \(PY\)-এর দৈর্ঘ্য \(XQ\)-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে \(2\) একক কম হলে, \(XY\) ও \(QR\) সমান্তরাল হবে কিনা লিখি।

৯. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যেকোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।

১১. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

১২. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q.)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.৩ (সম্পূর্ণ সমাধান)

১. নিচের ত্রিভুজ জোড়াগুলির মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ দুটি সদৃশ তা হিসাব করে লিখি এবং সদৃশতার শর্ত লিখি:

(i) \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle DEF\)-এর \(\angle A = 60^\circ, \angle B = 80^\circ, \angle C = 40^\circ\) এবং \(\angle D = 60^\circ, \angle E = 80^\circ, \angle F = 40^\circ\)

(ii) \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle PQR\)-এর \(AB = 2, BC = 2.5, AC = 3\) এবং \(PQ = 6, QR = 4, PR = 5\)

(iii) \(\triangle LMN\) এবং \(\triangle PQR\)-এর \(LM = 2.7, MN = 2, LN = 3\) এবং \(PQ = 4, QR = 5, PR = 6\)

(iv) \(\triangle MNL\) এবং \(\triangle PQR\)-এর \(\angle M = 70^\circ, MN = 2.5, ML = 5\) এবং \(\angle P = 70^\circ, PQ = 5, PR = 10\)

২. \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle DEF\)-এর \(\angle A = \angle E = 40^\circ\), \(AB : ED = AC : EF\) এবং \(\angle F = 65^\circ\) হলে, \(\angle B\)-এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।

৪. \(ABCD\) চতুর্ভুজের \(A\) ও \(C\) বিন্দু থেকে যথাক্রমে \(BD\) কর্ণের ওপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) ও \(CQ\)। প্রমাণ করি যে, \(AP \cdot DQ = CQ \cdot BP\)।

৫. \(\triangle ABC\)-এর \(\angle A\) সমকোণ। \(A\) বিন্দু থেকে \(BC\)-এর ওপর লম্ব \(AD\)। প্রমাণ করি যে, \(\frac{\text{Area}(\triangle ABD)}{\text{Area}(\triangle ADC)} = \frac{AB^2}{AC^2}\)।

৬. একটি বৃত্তের \(AB\) ও \(CD\) জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে \(P\) বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে \(AP \cdot PB = CP \cdot PD\)।

৭. \( \triangle ABC \)-এর \( \angle B \) সমকোণ। \( B \) বিন্দু থেকে \( AC \)-এর ওপর লম্ব \( BD \)। যদি \( BD = 6 \) সেমি এবং \( AD = 4 \) সেমি হয়, তবে \( CD \)-এর দৈর্ঘ্য কত?

৮. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের যেকোনো বহিস্থ বিন্দু \(P\) থেকে অঙ্কিত ছেদক \(PAB\) এবং স্পর্শক \(PT\) হলে, \(PA \cdot PB = PT^2\)।

৯. \(\triangle ABC\)-এর \(BD \perp AC\) এবং \(CE \perp AB\)। \(BD\) ও \(CE\) পরস্পরকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, \(BP \cdot PD = CP \cdot PE\)।

১০. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

১১. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q.)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ — দশম শ্রেণি: গণিত প্রকাশ

অধ্যায় ১৮: সদৃশতা (Similarity) — কষে দেখি ১৮.৪ (সম্পূর্ণ সমাধান)

৩. \(\triangle ABC\)-এর \(\angle A = 90^\circ\) এবং \(AD \perp BC\)। প্রমাণ করি যে, \(\frac{AB^2}{AC^2} = \frac{BD}{CD}\)।

৪. \(\triangle ABC\)-এর \(\angle B = 90^\circ\) এবং \(BD \perp AC\)। যদি \(AC = 13\) সেমি এবং \(AB = 5\) সেমি হয়, তবে \(AD, CD\) ও \(BD\)-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

৫. একটি আয়তক্ষেত্র \(ABCD\)-এর \(A\) বিন্দু থেকে \(BD\) কর্ণের উপর লম্ব \(AP\) অঙ্কন করা হলো। প্রমাণ করি যে, \(AB^2 = BP \times BD\)।

৬. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) – বহুমুখী বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

৭. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) – সত্য বা মিথ্যা লিখি এবং শূন্যস্থান পূরণ করি

(A) সত্য/মিথ্যা লিখি:

(B) শূন্যস্থান পূরণ করি:

৮. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q.)

🎯 শেষ কথা ও পড়ার পরামর্শ:

Share this:

Written by

Like this:

Related

Leave a ReplyCancel reply

`দশম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ১৮ সদৃশতা সম্পূর্ণ সমাধান`