১. গাণিতিক প্রতীক, চিহ্ন ও শব্দ সংক্ষেপ (Symbols & Abbreviations)

গণিতে ব্যবহৃত প্রাথমিক চিহ্ন থেকে শুরু করে উচ্চতর গণিত, সেট তত্ত্ব ও যুক্তিবিদ্যার সমস্ত প্রতীক নিচে সাজানো হলো:

গাণিতিক চিহ্ন ও সেট প্রতীক (Symbols)

সংক্ষিপ্ত রূপ (Abbreviations)

• গ.সা.গু.: গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (H.C.F. – Highest Common Factor)
• ল.সা.গু.: লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (L.C.M. – Least Common Multiple)
• ক্র.মূ. / বি.মূ.: ক্রয়মূল্য (Cost Price – CP) / বিক্রয়মূল্য (Selling Price – SP)
• স.সু. / চ.সু.: সরল সুদ (Simple Interest) / চক্রবৃদ্ধি সুদ (Compound Interest)
• LHS / RHS: Left Hand Side (বামপক্ষ) / Right Hand Side (ডানপক্ষ)
• w.r.t.: With respect to (এর সাপেক্ষে)
• iff: If and only if (যদি এবং কেবল যদি)
• Q.E.D.: Quod Erat Demonstrandum (“যা প্রমাণ করার কথা ছিল”)
• WLOG: Without Loss of Generality (ব্যাপকতা না হারিয়ে)
• AP / GP / HP: Arithmetic / Geometric / Harmonic Progression (সমান্তর / গুণোত্তর / বিপরীত প্রগতি)
• SD / Var: Standard Deviation (সমক বিচ্যুতি) / Variance (ভেদাঙ্ক)
• PDF / CDF: Probability Density Function / Cumulative Distribution Function

২. পাটিগণিত (Arithmetic – Class 1 to 10)

২.১ ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. (LCM & HCF)

• দুটি সংখ্যার সম্পর্ক: প্রথম সংখ্যা \(\times\) দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. \(\times\) ল.সা.গু.
• ভগ্নাংশের গ.সা.গু.: লবগুলির গ.সা.গু.হরগুলির ল.সা.গু.
• ভগ্নাংশের ল.সা.গু.: লবগুলির ল.সা.গু.হরগুলির গ.সা.গু.

২.২ শতকরা ও লাভ-ক্ষতি (Percentage, Profit & Loss)

• লাভ: বিক্রয়মূল্য \(-\) ক্রয়মূল্য
• ক্ষতি: ক্রয়মূল্য \(-\) বিক্রয়মূল্য
• শতকরা লাভ (%): লাভক্রয়মূল্য \(\times 100\%\)
• শতকরা ক্ষতি (%): ক্ষতিক্রয়মূল্য \(\times 100\%\)

২.৩ সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ (Simple & Compound Interest)

• সরল সুদ (\(I\)): \(I = \frac{P \cdot r \cdot t}{100}\)
• সুদ-আসলে বা সমূলধন (\(A\)): \(A = P + I = P\left(1 + \frac{rt}{100}\right)\)
• অন্যান্য উপাদান নির্ণয়: \(P = \frac{100I}{rt}\), \(r = \frac{100I}{Pt}\), \(t = \frac{100I}{Pr}\)
• সমূল চক্রবৃদ্ধি (\(A\)): \(A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\)
• চক্রবৃদ্ধি সুদ (\(CI\)): \(CI = A – P = P\left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n – 1\right]\)
• সুদের পর্ব ৬ মাস হলে (বছরে ২ বার): \(A = P\left(1 + \frac{r/2}{100}\right)^{2n}\)
• সুদের পর্ব ৩ মাস হলে (বছরে ৪ বার): \(A = P\left(1 + \frac{r/4}{100}\right)^{4n}\)
• প্রতি বছর সুদের হার ভিন্ন হলে (\(r_1\%, r_2\%\)): \(A = P\left(1 + \frac{r_1}{100}\right)\left(1 + \frac{r_2}{100}\right)\)
• সমাহার বৃদ্ধি (\(V_n\)): \(V_n = V_0\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n\)
• সমাহার হ্রাস বা অবচয় (\(V_n\)): \(V_n = V_0\left(1 – \frac{r}{100}\right)^n\)

২.৪ সময়, দূরত্ব ও গতিবেগ (Time, Distance & Speed)

• মূল সূত্র: দূরত্ব = গতিবেগ \(\times\) সময় \(\Rightarrow d = v \cdot t\)
• একক রূপান্তর: ১ কিমি/ঘণ্টা = \(\frac{5}{18}\) মিটার/সেকেন্ড
• একক রূপান্তর: ১ মিটার/সেকেন্ড = \(\frac{18}{5}\) কিমি/ঘণ্টা

২.৫ অংশীদারি কারবার (Partnership Business)

• লভ্যাংশ বণ্টন নীতি: লভ্যাংশের অনুপাত \(\propto\) (মূলধন \(\times\) সময়)
• সরল অংশীদারি (সময় সমান হলে): লভ্যাংশের অনুপাত = \(P_1 : P_2 : P_3\)
• মিশ্র অংশীদারি (সময় ভিন্ন হলে): লভ্যাংশের অনুপাত = \(P_1 \cdot t_1 : P_2 \cdot t_2 : P_3 \cdot t_3\)

৩. বীজগণিত, সূচক ও প্রগতি (Algebra, Exponents & Series)

৩.১ বর্গের সূত্রাবলি (Square Formulas)

• \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
• \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)
• \(2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2\)
• \(4ab = (a+b)^2 – (a-b)^2\)
• \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)\)

৩.২ ঘনের সূত্রাবলি (Cube Formulas)

• \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\)
• \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = a^3 – b^3 – 3ab(a-b)\)
• \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
• \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)

৩.৩ সূচক ও লগারিদম (Exponents & Logarithms)

• সূচকের নিয়মাবলী: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad | \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad | \quad (a^m)^n = a^{mn} \quad | \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• লগারিদম নিয়ম (\(b>0, b \neq 1\)): \(\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \quad | \quad \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y\)
• ঘাত ও নিধান পরিবর্তন: \(\log_b(x^k) = k\log_b x \quad | \quad \log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}\)

৩.৪ একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations)

• • সাধারণ রূপ: \(ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)\)
  • শ্রীধর আচার্যের সূত্র: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
  • নিরূপক (Discriminant – \(D\)): \(D = b^2 – 4ac\)
    • \(D > 0 \Rightarrow\) বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান
    • \(D = 0 \Rightarrow\) বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান (\(x = -\frac{b}{2a}\))
    • \(D < 0 \Rightarrow\) কোনো বাস্তব বীজ নেই
  • বীজদ্বয়ের সম্পর্ক (\(\alpha, \beta\)): সমষ্টি \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \quad | \quad\) গুণফল \(\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}\)

• সমীকরণ গঠন: \(x^2 -\) (বীজদ্বয়ের যোগফল)\(x +\) (বীজদ্বয়ের গুণফল) \(= 0\)

৩.৫ অনুপাত, সমানুপাত ও ভেদ (Ratio, Proportion & Variation)

• যদি \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) হয়, তবে:
  • ব্যস্ত প্রক্রিয়া (Invertendo): \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)
  • একান্তর প্রক্রিয়া (Alternando): \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)
  • যোগ প্রক্রিয়া (Componendo): \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\)
  • ভাগ প্রক্রিয়া (Dividendo): \(\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}\)
  • যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo & Dividendo): \(\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}\)
  • সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo): \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}\)
• ক্রমিক সমানুপাতী (\(a, b, c\)): \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \Rightarrow b^2 = ac \Rightarrow b = \sqrt{ac}\) (\(b\) = মধ্যসমানুপাতী)
• ভেদ (Variation): সরল ভেদ \(x \propto y \Rightarrow x = ky \quad | \quad\) ব্যস্ত ভেদ \(x \propto \frac{1}{y} \Rightarrow xy = k \quad | \quad\) যৌথ ভেদ \(x = kyz\) (\(k \neq 0\) ভেদ ধ্রুবক)
• দ্বিঘাত করণী: \(a + \sqrt{b}\)-এর অনুবন্ধী করণী হলো \(a – \sqrt{b}\)।

৩.৬ অনুক্রম ও প্রগতি (Sequences & Series)

• সমান্তর প্রগতি (AP): \(n\)-তম পদ \(a_n = a + (n-1)d \quad | \quad\) সমষ্টি \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a+l)\)
• গুণোত্তর প্রগতি (GP): \(n\)-তম পদ \(a_n = a r^{n-1} \quad | \quad\) সমষ্টি \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad | \quad\) অসীম সমষ্টি \(S_\infty = \frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)\)

৪. পরিমিতি (Mensuration – 2D & 3D Shapes)

৪.১ দ্বিমাত্রিক আকার (2D Shapes)

৪.২ ত্রিমাত্রিক আকার (3D Shapes)

৫. জ্যামিতি, উপপাদ্য ও সম্পাদ্য (Geometry & Theorems)

৫.১ জ্যামিতিক মূল ধারণা

• ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি: \(180^\circ\)
• চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি: \(360^\circ\)
• \(n\)-সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি: \((n-2) \times 180^\circ\)
• পিথাগোরাসের উপপাদ্য (সমকোণী ত্রিভুজ): অতিভুজ\(^2\) = লম্ব\(^2\) + ভূমি\(^2\)
• থ্যালসের উপপাদ্য (BPT): \(\Delta ABC\)-এর \(DE \parallel BC\) হলে, \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

৫.২ মাধ্যমিক দশম শ্রেণী (WBBSE) গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য সাজেশন

মাধ্যমিক পরীক্ষায় ৫ নম্বরের উপপাদ্যের জন্য নিচের অধ্যায়গুলো সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ:

• Top Priority পিথাগোরাসের উপপাদ্য (অধ্যায় ২২): যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
• Top Priority কেন্দ্রস্থ কোণ ও বৃত্তস্থ কোণ (অধ্যায় ৭ – উপপাদ্য ৩৪): কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ (\(\angle AOB = 2\angle ACB\))।
• Top Priority বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (অধ্যায় ১০ – উপপাদ্য ৩৮): বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক (\(\angle A + \angle C = 180^\circ\))।
• Top Priority বৃত্তের স্পর্শক (অধ্যায় ১৫ – উপপাদ্য ৪২): বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক টানলে তাদের দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
• Secondary পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য (অধ্যায় ২২ – উপপাদ্য ৪৯): কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান হলে প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।
• Secondary সদৃশতা সংক্রান্ত (অধ্যায় ১৮ – উপপাদ্য ৪৩): সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব আঁকলে উভয়দিকের ত্রিভুজদ্বয় মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ।
• Secondary অর্ধবৃত্তস্থ কোণ (অধ্যায় ৭ – উপপাদ্য ৩৭): প্রমাণ করো যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।

৫.৩ গুরুত্বপূর্ণ সম্পাদ্য ও টিপস (Constructions)

• পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন (অধ্যায় ১১): নির্দিষ্ট ত্রিভুজ এঁকে তার পরিবৃত্ত বা অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন।
• বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (অধ্যায় ১৭): বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শক বা ওপরিস্থিত বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন।
• জ্যামিতিক উপায়ে বর্গমূল / মধ্যসমানুপাতী (অধ্যায় ২১): \(\sqrt{12}, \sqrt{15}, \sqrt{21}, \sqrt{28}, \sqrt{31}\) নির্ণয় বা আয়তক্ষেত্রের সমান বর্গক্ষেত্র অঙ্কন।

৬. ত্রিকোণমিতি ও স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Trigonometry & Coordinate Geometry)

৬.১ প্রাথমিক অনুপাত ও মূল অভেদাবলি

• \(\sin\theta = \) লম্বঅতিভুজ \(\quad | \quad \cos\theta = \) ভূমিঅতিভুজ \(\quad | \quad \tan\theta = \) লম্বভূমি
• \(\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \quad | \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \quad | \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}\)
• মূল অভেদ: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \quad | \quad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \quad | \quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)
• পূরক কোণ: \(\sin(90^\circ-\theta) = \cos\theta \quad | \quad \tan(90^\circ-\theta) = \cot\theta \quad | \quad \sec(90^\circ-\theta) = \csc\theta\)

৬.২ সাধারণ কোণের মানের তালিকা

৬.৩ বৃত্তীয় মান, যৌগিক কোণ ও ত্রিভুজের ধর্ম (Class 11-12)

• কোণ পরিমাপ: \(180^\circ = \pi\) রেডিয়ান \(\quad | \quad S = r\theta\) (\(S\) = বৃত্তচাপ, \(r\) = ব্যাসার্ধ, \(\theta\) = রেডিয়ানে কোণ)
• যৌগিক কোণ: \(\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B \quad | \quad \cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B\)
• দ্বিগুণ কোণ: \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} \quad | \quad \cos 2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta = 2\cos^2\theta – 1\)
• Sine & Cosine Rule: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \quad | \quad c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C\)

৬.৪ স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

• দূরত্ব সূত্র: \(d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\)
• বিভক্তকরণ সূত্র (\(m:n\)): \((x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)\)
• প্রবণতা (\(m\)): \(m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \tan\theta\)
• সমান্তরাল ও লম্ব শর্ত: সমান্তরাল \(m_1 = m_2 \quad | \quad\) লম্ব \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
• বৃত্তের সমীকরণ: \((x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2\)

৭. কলনবিদ্যা, ভেক্টর ও ৩ডি (Calculus, Vectors & 3D – Class 11 & 12)

৭.১ অবকলন ও সমাকলন (Differential & Integral Calculus)

• পাওয়ার রুল: \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \quad | \quad \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\)
• সূচকীয় ও লগ: \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x \quad | \quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \quad | \quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
• ত্রিকোণমিতিক অবকলন: \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \quad | \quad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \quad | \quad \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x\)
• গুণ ও ভাগ রুল: \(\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u’v + uv’ \quad | \quad \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u’v – uv’}{v^2}\)
• আংশিক সমাকলন: \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\)

৭.২ ভেক্টর ও ৩ডি জ্যামিতি (Vectors & 3D Geometry)

• • ভেক্টরের মান: \(|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

• ডট গুণফল (স্কেলার): \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\) (লম্ব হলে \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\))
• ক্রস গুণফল (ভেক্টর): \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\) (সমান্তরাল হলে \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\))
• সরলরেখার ৩ডি সমীকরণ: \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}\)

৮. রাশিবিজ্ঞান ও সম্ভাবনা (Statistics & Probability)

৮.১ কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ (Class 9 & 10)

• গড় (Mean – \(\bar{x}\)):
  • প্রত্যক্ষ পদ্ধতি: \(\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
  • কল্পিত গড় পদ্ধতি: \(\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \quad (d_i = x_i – a)\)
  • ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতি: \(\bar{x} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h \quad \left(u_i = \frac{x_i – a}{h}\right)\)
• মধ্যমা (Median): \(\text{Median} = L + \left(\frac{\frac{N}{2} – CF}{f}\right) \times h\)
  \(L\) = মধ্যমা শ্রেণীর নিম্ন সীমানা; \(N = \sum f\) = মোট পরিসংখ্যা; \(CF\) = মধ্যমা শ্রেণীর পূর্ববর্তী শ্রেণীর ক্রমযোজিত পরিসংখ্যা; \(f\) = মধ্যমা শ্রেণীর পরিসংখ্যা; \(h\) = শ্রেণী দৈর্ঘ্য।
• সংখ্যাগুরুমান (Mode): \(\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times h\)
  \(L\) = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণীর নিম্ন সীমানা; \(f_1\) = সংখ্যাগুরুমান শ্রেণীর পরিসংখ্যা; \(f_0\) = পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা; \(f_2\) = পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা; \(h\) = শ্রেণী দৈর্ঘ্য।
• সম্পর্ক: \(\text{Mode} = 3\text{Median} – 2\text{Mean}\) (সংখ্যাগুরুমান = \(3 \times\) মধ্যমা \(- 2 \times\) গড়)

৮.২ সম্ভাবনা ও উচ্চতর রাশিবিজ্ঞান (Probability & Advanced Stats)

• সম্ভাবনার সূত্র: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
• শর্তাধীন সম্ভাবনা: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)\)
• বায়েসের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem): \(P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum P(B|A_k)P(A_k)}\)
• ভেদাঙ্ক (Variance – \(\sigma^2\)): \(\sigma^2 = \frac{\sum(x_i – \bar{x})^2}{n} = \frac{\sum x_i^2}{n} – \bar{x}^2\)